Hempels paradox

Zonder het stellen van interessante vragen is vooruitgang in de filosofie of op welk ander terrein dan ook ondenkbaar. In de jaren veertig van de vorige eeuw stelde de logicus Carl Gustav Hempel zo'n vraag. Neem de bewering dat alle raven zwart zijn. Deze bewering kan worden weerlegd door het observeren van één niet-zware raaf. Zoveel is duidelijk. Maar hoe kunnen we nu laten zien dat deze bewering waar is? Daartoe zouden we alle raven in de natuur moeten observeren en vaststellen dat ze allemaal zwart zijn. Dit is onbegonnen werk. Bovendien kunnen we zo nooit vaststellen dat we inderdaad alle raven geobserveerd hebben. We kunnen nooit weten of we ze echt allemaal gezien hebben, zelfs wanneer dit feitelijk wel het geval zou zijn. Kortom, het enige wat we kunnen doen is de waarschijnlijkheid van de bewering vergroten door steeds meer zwarte raven waar te nemen. Iedere keer wanneer we weer een zwarte raaf zien, neemt de waarschijnlijkheid van de bewering dat alle raven zwart zijn weer een beetje toe. Absolute zekerheid zullen we zo echter nooit bereiken, hoeveel raven we ook gezien hebben.

Tot zover is er weinig aan de hand. Maar let nu op. Hempel merkte fijntjes op dat de bewering dat alle raven zwart zijn logisch equivalent is aan de bewering dat alle niet-zwarte dingen geen raaf zijn. Deze beweringen komen anders gezegd op hetzelfde neer. Wie zegt dat alle raven zwart zijn, zegt niets anders dan wie zegt dat alle niet-zwarte dingen geen raaf zijn. Want als iedere raaf zwart is, dan moet een niet-zwart ding geen raaf zijn. En als ieder niet-zwart ding geen raaf is, dan moet iedere raaf zwart zijn.

Nu lijkt het redelijk om te beweren dat logisch equivalente beweringen waarschijnlijker worden gemaakt door dezelfde observaties. Ze komen immers zoals gezegd op hetzelfde neer. Maar dan moeten alle observaties die de bewering "Alle niet-zwarte dingen zijn geen raven" waarschijnlijker maken, ook de bewering "Alle raven zijn zwart" waarschijnlijker maken. Die twee beweringen zijn immers equivalent. Ze impliceren elkaar. Ze komen op hetzelfde neer.

Dit leidt tot een wellicht verrassende conclusie. Neem de volgende observaties. Mijn rode trui. Jouw witte schoenen. Marks gele fiets. Eva's blauwe jas. De groene auto aan de overkant van de straat. En het witte kopje hier op tafel. Al deze observaties maken de bewering dat alle niet-zwarte dingen geen raaf zijn waarschijnlijker. Op grond van het voorgaande moeten wij dus concluderen dat al deze observaties de bewering dat alle raven zwart zijn ook waarschijnlijker maken. Het waarnemen van gele fietsen, blauwe jassen, groene auto's, en witte kopjes maakt de bewering dat alle raven zwart zijn dus waarschijnlijker! Gaat dat niet geheel tegen onze redelijke intuïtie in? Is dat in feite niet volkomen paradoxaal? Die observaties van groene auto's, witte kopjes en zo hebben toch helemaal niets te maken met het al dan niet zwart zijn van raven? Hoe kunnen die observaties de bewering dat alle raven zwart zijn dan in vredesnaam waarschijnlijker maken?

Dat is Hempels vraag. En het is inderdaad een interessante vraag. Ze nodigt ons uit tot verder nadenken. Toch is het antwoord op deze vraag niet al te ingewikkeld. Hiertoe introduceer ik het begrip "fatale observatie". Een fatale observatie voor de bewering dat alle raven zwart zijn is een niet-zwarte raaf. Want zodra we één niet-zwarte raaf zien, is de bewering dat alle raven zwart zijn weerlegd.

Nu kunnen we in het algemeen zeggen dat naarmate we meer willekeurige observaties doen, en naarmate die observaties niet fataal zijn, dus geen tegenvoorbeeld opleveren, de bewering in kwestie waarschijnlijker wordt. Het is hierbij van belang dat die observaties echt volkomen willekeurig zijn. Het heeft bijvoorbeeld weinig zin om alléén niet-raven te gaan bestuderen. Want daarvan weten we op voorhand al dat ze nooit tot een fatale observatie zullen leiden. Een niet-zware raaf zullen we zo immers nooit tegenkomen. Dat weten we op voorhand al. Een dergelijke manier van observeren zal dus niet bijdragen aan het waarschijnlijker maken van de stelling. Wie zo te werk gaat speelt vals. We dienen dus op een volstrekt willekeurige manier allerlei uiteenlopende dingen uit de werkelijkheid te kiezen en te bekijken, zodat we bij iedere observatie ook echt de mogelijkheid openhouden een niet-zwarte raaf tegen te komen. We moeten er dus voor te zorgen dat iedere keer wanneer we een nieuwe observatie doen deze op elk denkbaar ding in de werkelijkheid gericht kan zijn, en niet alleen op niet-raven.

We dienen ons anders gezegd in onze observaties kwetsbaar op te stellen. Iedere keer wanneer we zo op geheel willekeurige wijze een rode stoel waarnemen, of een zwarte raaf, of een blauwe jas, dan maken we inderdaad de bewering dat alle raven zwart zijn weer een beetje waarschijnlijker. Want we hebben dan opnieuw een mogelijk fatale observatie overleeft. En hoe meer van onze observaties niet fataal blijken te zijn, hoe meer observaties door de bewering overleeft worden, hoe waarschijnlijker ze wordt. Kortom, ook observaties zoals rode auto's, blauwe truien en zo maken de bewering dat alle raven zwart zijn een beetje waarschijnlijker, zolang ze maar het resultaat zijn van een totaal willekeurig observatieproces. Zo wordt duidelijk dat wat aanvankelijk paradoxaal leek in feite helemaal niet onbegrijpelijk hoeft te zijn.

Een liefdesparadox

Beschouw Mark. Mark houdt van Eva. Stel dat Mark weet dat Eva alléén gelukkig kan worden wanneer Mark (de op zichzelf onschuldige en van Eva onafhankelijke) handeling H verricht. Het verrichten van H zal Mark echter ongelukkig maken. Ook dit weet hij. Mark houdt zoveel van Eva dat hij besluit handeling H te verrichten. Het gevolg is dat Mark ongelukkig wordt en Eva gelukkig.

Er zijn nu twee mogelijkheden. De eerste mogelijkheid is dat Mark weliswaar ongelukkig is, maar niet zo ongelukkig als hij geweest zou zijn wanneer hij H niet verricht zou hebben. In dit geval zou het ongeluk van Eva Mark nog veel ongelukkiger gemaakt hebben dan hij nu is. In deze situatie kan iemand betwijfelen of Mark wel uit liefde handelde. Was zijn keuze om de handeling in kwestie te verrichten niet eenvoudigweg gebaseerd op een koele nutsberekening? Niets doen zou hem immers nog ongelukkiger gemaakt hebben, zodat betwijfeld kan worden of hij wel uit liefde handelde.

De tweede mogelijkheid is dat Mark ongelukkiger is dan wanneer hij de handeling niet verricht zou hebben. In dit geval lijkt de handeling niet berekenend maar uit liefde te zijn. Probleem hier is echter dat de gevolgen van de handeling H Mark ongelukkiger maken dan het ongeluk van Eva. Maar dan kan getwijfeld worden aan de oprechte liefde van Mark. Zou in het geval van echte liefde het ongeluk van Eva hem immers niet ongelukkiger moeten maken dan de gevolgen van handeling H om Eva's geluk te redden?

Kortom, Mark lijkt het nooit helemaal goed te kunnen doen. Er kan hoe dan ook getwijfeld worden aan zijn oprechtheid. Maar is dit niet paradoxaal?

Thompson paradox

A lamp is turned on for 1/2 minute, off for 1/4 minute, on for 1/8 minute, off for 1/16 minute, on for 1/32 minute, and so on. At the end of one minute, will the lamp be on or off? At least in Zeno cases we know what will happen: the arrow will move, the wall will be reached, the turtle will be passed, etc. But here... will the lamp be on or off?

Een alternatieve leugenaarsparadox

In de regel wordt de propositie P1 'Deze propositie is niet waar' begrepen als een paradox. Immers, indien P1 waar is, dan is P1 niet waar, en omgekeerd. Neem nu echter de propositie P2 'Deze propositie is niet bewijsbaar'. Het is evident dat P2 niet onwaar kan zijn. Immers, indien P2 onwaar is, dan is P2 bewijsbaar hetgeen in tegenspraak is met de onwaarheid van P2. Alleen waarheden kunnen immers adequaat bewezen worden. We moeten dus concluderen dat P2 waar is, ofwel dat P2 niet bewijsbaar is. Uit dit alles lijkt te volgen dat er principieel onbewijsbare waarheden bestaan. Kortom, niet elke waarheid is bewijsbaar, zo schijnt het.

Echter, het leveren van een bewijs van een propositie betekent in absolute zin niets anders dan het demonstreren van de waarheid van de desbetreffende propositie. Het latijnse woord voor bewijs is dan ook 'demonstratio'.

Maar dit is precies hetgeen we zojuist in het geval van P2 gedaan hebben! We hebben gedemonstreerd dat P2 waar moet zijn. We hebben in de hiervoor aangegeven zin dus een bewijs voor P2 geleverd. We zien dus dat P2 zowel niet als wel bewijsbaar is.

Propositie P2 is daarom nét zo paradoxaal als de overbekende leugenaarsparadox P1 zelf. En precies daarom kan P2 niet worden ingezet om te betogen dat er principieel onbewijsbare waarheden zouden bestaan.

Literatuur
Peregrin, J. (2001), "Absolute and relative concepts in logic", Filosofia, Praag, p. 71-77