woensdag 25 mei 2011

Een alternatieve leugenaarsparadox

In de regel wordt de propositie P1 'Deze propositie is niet waar' begrepen als een paradox. Immers, indien P1 waar is, dan is P1 niet waar, en omgekeerd. Neem nu echter de propositie P2 'Deze propositie is niet bewijsbaar'. Het is evident dat P2 niet onwaar kan zijn. Immers, indien P2 onwaar is, dan is P2 bewijsbaar hetgeen in tegenspraak is met de onwaarheid van P2. Alleen waarheden kunnen immers adequaat bewezen worden. We moeten dus concluderen dat P2 waar is, ofwel dat P2 niet bewijsbaar is. Uit dit alles lijkt te volgen dat er principieel onbewijsbare waarheden bestaan. Kortom, niet elke waarheid is bewijsbaar, zo schijnt het.

Echter, het leveren van een bewijs van een propositie betekent in absolute zin niets anders dan het demonstreren van de waarheid van de desbetreffende propositie. Het latijnse woord voor bewijs is dan ook 'demonstratio'.

Maar dit is precies hetgeen we zojuist in het geval van P2 gedaan hebben! We hebben gedemonstreerd dat P2 waar moet zijn. We hebben in de hiervoor aangegeven zin dus een bewijs voor P2 geleverd. We zien dus dat P2 zowel niet als wel bewijsbaar is.

Propositie P2 is daarom nét zo paradoxaal als de overbekende leugenaarsparadox P1 zelf. En precies daarom kan P2 niet worden ingezet om te betogen dat er principieel onbewijsbare waarheden zouden bestaan.

Literatuur
Peregrin, J. (2001), "Absolute and relative concepts in logic", Filosofia, Praag, p. 71-77

Geen opmerkingen: