Enkele aanvullende overwegingen bij Wittgensteins Tractatus

Volgende week geef ik voor de zomerschool van de VU master Filosofie van cultuur en bestuur weer een college over Logicomix en Wittgensteins Tractatus. Tijdens het voorbereiden van dit college vielen mij een paar dingen op die ik nog niet eerder gezien had.

1. Mereologisch nihilisme en Kripkeaanse namen
Allereerst is Wittgenstein in de Tractatus een mereologisch nihilist. Er zijn alleen enkelvoudige objecten en combinaties van enkelvoudige objecten. Deze combinaties zijn standen van zaken en geen samengestelde objecten. Er vindt dus geen mereologische compositie plaats omdat er geen objecten zijn die gezamenlijk een object kunnen vormen.

Daarnaast lijkt het centrale idee van Kripkes Naming and Necessity al aanwezig in Wittgensteins Tractatus. De betekenis van een Tractariaanse naam is het object waarnaar het verwijst. En de objecten vormen de onveranderlijke substantie van de mogelijke feiten. De referentie van een naam blijft dus dezelfde, ongeacht welke mogelijke feiten actueel zijn. In iedere mogelijke wereld verwijzen de Tractariaanse namen naar dezelfde objecten. Maar dan gedragen Tractariaanse namen zich als Kripkeaanse rigid designators.

2. Negatieve en universele feiten, totaliteit en het mystieke
Het lijkt er bovendien op dat Wittgensteins behandeling van Russells negatieve en universele feiten nauw samenhangt met Wittgensteins denken over het mystieke. Russell meent dat negatieve waarheden negatieve feiten vereisen en universele waarheden universele feiten. Stel dat Fab, Za, Zb en Hb alle ware atomaire proposities zijn. Waarom is de propositie niet-Ba dan waar? De actuele atomaire feiten lijken hoogstens compatibel met de waarheid van niet-Ba, maar maken deze propositie niet waar. En waarom zou (Voor alle x)Zx waar zijn? Daarvoor moeten niet alleen Za en Zb waar zijn, maar moeten er bovendien geen objecten x bestaan waarvoor Zx onwaar is. En dat laatste volgt niet uit de genoemde ware atomaire proposities. Volgens Russell wijst dit erop dat de werkelijkheid meer moet bevatten dan alleen atomaire feiten en hun eindige positieve samenstellingen, namelijk negatieve en universele feiten.

Volgens Wittgenstein is de wereld de totaliteit van de feiten. Met het gegeven zijn van de wereld is de totaliteit van de wereld dus al gegeven. Daarom zijn er geen negatieve of universele feiten nodig. Russell vraagt in feite welk feit het waar maakt dat de gegeven feiten alle actuele feiten zijn. Er is echter geen feit dat het waar maakt dat de wereld de wereld is. De wereld als totaliteit is geen feit in de wereld. De totaliteit van de wereld behoort als grens van de wereld tot de logische vorm van de wereld. En net zoals de logische vorm kan deze totaliteit niet gezegd worden. Zij toont zich. Niet hoe, maar dat de wereld is, de wereld als begrensd geheel, behoort tot het mystieke.

Wittgensteins behandeling van Russells negatieve en universele feiten lijkt daarmee inderdaad niet los te staan van zijn latere opmerkingen over het mystieke, maar er juist een vroege toepassing van te zijn. Vanuit dit perspectief verschijnt het mystieke niet als een afzonderlijk thema aan het einde van de Tractatus, maar als een consequentie van dezelfde gedachte die Wittgenstein reeds bij zijn kritiek op negatieve en universele feiten inzet.

3. Zijn Tractariaanse werelden onmogelijk?
En dan dit. Laat a een object zijn en laat p(1), …, p(n) alle atomaire proposities zijn waarin (de naam van) object a voorkomt. Wittgenstein eist dat alle atomaire feiten logisch onafhankelijk van elkaar zijn (1.21). Maar dan moet de propositie niet(p(1)) en niet(p(2)) en ….. niet(p(n)) mogelijk waar zijn. Er is dan dus een mogelijke wereld waarin object a in geen enkel atomair feit in die wereld voorkomt. Wanneer die wereld actueel zou zijn, zou a dus in geen enkel actueel atomair feit voorkomen, wat in tegenspraak is met Wittgensteins eis dat elk object in tenminste één atomair feit in de actuele wereld voorkomt. Is hiermee de Tractariaanse ontologie reductio ad absurdum gevoerd, zodat een Tractariaanse wereld onmogelijk kan bestaan?

Het dilemma voor Wittgenstein kan ook nog wat preciezer als volgt worden weergegeven. Laten we zeggen dat een object geïnstantieerd is in een mogelijke wereld dan en slechts dan als het een constituent is van ten minste één bestaand atomair feit in die wereld. Neem nu een object a en een mogelijke wereld w. Het lijkt mij dat stelling 2.0131 en 2.0122 sterk suggereren dat objecten noodzakelijk geïnstantieerd zijn. Er moet dus ten minste één atomair feit in w bestaan die a (in w) instantieert. Laat F(1), … , F(n) alle atomaire feiten in w zijn die a (in w) instantiëren. Volgens stelling 1.21 geldt dat iets het geval kan zijn of niet het geval kan zijn, terwijl al het overige hetzelfde blijft. Daaruit volgt dat er een mogelijke wereld w(2) bestaat waarin F(1) niet bestaat, terwijl F(2), … , F(n) wel bestaan en de enige atomaire feiten in w(2) zijn die a instantiëren. Door stelling 1.21 opnieuw toe te passen, bestaat er een mogelijke wereld w(3) waarin noch F(1) noch F(2) bestaat, terwijl F(3), … , F(n) wel bestaan en de enige atomaire feiten in w(3) zijn die a instantiëren. Door stelling 1.21 recursief toe te passen, komen we uiteindelijk uit bij een mogelijke wereld w(n+1) waarin geen van F(1), … , F(n) bestaat. Aangezien er geen andere atomaire feiten in w(n+1) zijn die a instantiëren, volgt daaruit dat a niet geïnstantieerd is in w(n+1). Maar dit is in tegenspraak met de these dat objecten noodzakelijk geïnstantieerd zijn. Het lijkt mij daarom dat Wittgenstein óf stelling 1.21 moet opgeven, óf de these dat objecten noodzakelijk geïnstantieerd zijn.

4. Een mogelijke tegenwerping
Nu zou tegengeworpen kunnen worden dat Wittgenstein niet van mening is dat elk object in tenminste één actueel feit voorkomt. Uit stelling 2.0131 blijkt echter dat Wittgenstein in de Tractatus wel degelijk meent dat elk object in een actueel feit voorkomt. Want hij stelt daar bijvoorbeeld dat een kleurwaarneming niet rood hoeft te zijn, maar wel een bepaalde kleur moet hebben. Evenzo moet een tastindruk een bepaalde hardheid hebben en moet een toon een bepaalde toonhoogte hebben.

Dat alle objecten in een of meerdere actuele feiten voorkomen blijkt eveneens uit stelling 2.0122. Wittgenstein maakt daar een vergelijking met woorden. Woorden kunnen niet zowel in zinnen als los voorkomen. Het is evident dat woorden in zinnen voorkomen. Dus woorden kunnen niet los voorkomen. En dit geldt dan ook voor objecten. Ze komen niet los voor. Wittgenstein spreekt in genoemde stelling ook duidelijk over de verbinding van een object met een atomair feit als een vorm van afhankelijkheid. Dat het hier gaat om een actueel atomair feit volgt uit het gegeven dat het desbetreffende zinsdeel contrasteert met het zinsdeel daarvoor dat gaat over mogelijke feiten.

Naast deze twee overwegingen zijn er nog twee aanvullende overwegingen voor de opvatting dat Wittgenstein eist dat elk object in een actueel feit voorkomt. Zo is de wereld volgens Wittgenstein de totaliteit van de feiten (1.1) en de objecten vormen de substantie van de wereld (2.021). Alle objecten behoren dus tot de totaliteit van de feiten, en dit kan, zo lijkt het, alleen worden begrepen als de bewering dat alle objecten door ten minste één feit moeten worden geïnstantieerd. Inderdaad lijkt het toelaten van objecten als “vrij zwevende possibilia” naast de wereld niet te passen bij Wittgensteins aan de Tractatus ten grondslag liggende motivatie. Het lijkt onwaarschijnlijk dat Wittgenstein dergelijke possibilia in zijn ontologie zou willen toelaten.

Stel tenslotte dat er een object a is dat in geen enkel actueel atomair feit voorkomt. Hoe kan de wereld als geheel van de actuele feiten dan bepalen of de atomaire propositie Fa onwaar of betekenisloos is? De propositie Fa is onwaar als Fa een mogelijk atomair feit afbeeldt en de propositie Fa is betekenisloos als het geen mogelijk atomair feit afbeeldt. Maar omdat object a niet in de actuele atomaire feiten van de wereld zit, kan vanuit de wereld via de vorm van object a niet vastgesteld worden wat de niet-actuele atomaire feiten zijn waarin object a voorkomt. En dus kan vanuit de wereld niet bepaald worden of Fa onwaar of betekenisloos is. Dit probleem kan alleen vermeden worden door inderdaad te eisen dat alle objecten tot tenminste één actueel feit behoren.

Victor Gijsbers, Wittgenstein en het vermoeden van Goldbach

Met plezier las ik het recente boek van Victor Gijsbers over oneindigheid, dat is getiteld Oneindigheid. Een filosofische gids en onlangs de short list van de Socratesbeker heeft gehaald. In hoofdstuk zes bespreekt Gijsbers onder andere het beroemde vermoeden van Goldbach: elk even getal groter dan twee kan geschreven worden als de som van twee priemgetallen. Tot dusver is dit vermoeden niet bewezen en ook niet weerlegd. Stel nu eens dat er geen bewijs voor het vermoeden in een eindig aantal stappen geconstrueerd kan worden. En stel eveneens dat een tegenvoorbeeld evenmin in een eindig aantal stappen construeerbaar is. Gijsbers merkt op dat in dit geval volgens Wittgenstein het vermoeden van Goldbach niet waar en niet onwaar is. Gijsbers licht toe: "Als we net zoals Wittgenstein weigeren om getallen te zien als dingen die al bij voorbaat op ons liggen te wachten, hoeven we ook niet meer te denken dat er waarheden over deze getallen bestaan onafhankelijk van wat wij kunnen bewijzen (p.185)."

Wie in het geval waarin bewijs en tegenvoorbeeld niet eindig construeerbaar zijn, toch denkt dat het vermoeden van Goldbach waar of onwaar is, kan dit volgens Gijsbers dus alléén denken omdat men getallen ziet als dingen die op ons liggen te wachten. Men zou zich de even getallen voorstellen als een van ons onafhankelijk bestaande rij die klaarligt om bekeken te worden. Preciezer gezegd zou men uitgaan van een afgeronde of actuele oneindigheid van even getallen. Dit uitgangspunt wijst Wittgenstein inderdaad af. Gijsbert schrijft dan ook terecht: "Deze gedachte is tegen het zere been van Wittgenstein. Het is volgens hem volkomen verkeerd om de getallen te zien als dingen die bestaan onafhankelijk van onze wiskundige activiteiten. De getallen liggen niet te wachten, in al hun oneindigheid, tot wij een keer langskomen (p. 185)."

We hoeven in het desbetreffende geval echter niet uit te gaan van een afgeronde of actuele oneindigheid van even getallen om te beweren dat het vermoeden waar of onwaar is. Beschouw maar eens iemand die begint bij het eerste even getal, namelijk vier, dat hij of zij in eindig veel stappen controleert, vervolgens met een eindige regel het volgende even getal genereert, dat eveneens op dezelfde wijze in eindig veel stappen controleert, daarna met dezelfde eindige regel het volgende even getal genereert, dat ook weer controleert en zo doorgaat. Hij of zij stopt pas zodra bij een controle blijkt dat het even getal niet aan het vermoeden van Goldbach voldoet. Deze procedure blijft steeds eindig. Het is niet zo dat er op een bepaald moment ineens een actueel oneindig aantal even getallen langsgelopen en gecontroleerd zijn.

En omdat we het hier hebben over het specifieke geval waarin een tegenvoorbeeld niet in een eindig aantal stappen geconstrueerd kan worden, kan met genoemde procedure in een eindig aantal stappen geen tegenvoorbeeld gevonden worden. In elke volgende stap van de procedure ontstaat géén tegenvoorbeeld omdat het ontstaan ervan een constructie van een tegenvoorbeeld in een eindig aantal stappen zou betreffen. Elke volgende controle slaagt, zodat in elke volgende stap de procedure niet stopt. Er is dus geen stap waarin de procedure stopt.

Dit niet stoppen rechtvaardigt de uitspraak dat het vermoeden van Goldbach in het onderhavige geval waar is. Er is geen stap in de procedure waarop gestopt wordt en juist dat lijkt mij redelijkerwijs voldoende om te zeggen dat het vermoeden in dit geval klopt. De even getallen hoeven niet gezien te worden als dingen die op ons liggen te wachten en klaarliggen om bekeken te worden.

Wie deze conclusie te ver vindt gaan, kan volhouden dat er hoe dan ook twee mogelijkheden zijn. De regelgeleide procedure stopt na eindig veel stappen of niet. Als de procedure stopt kan redelijkerwijs gezegd worden dat het vermoeden onwaar is en als er geen stap is waarop de procedure stopt kan redelijkerwijs beweerd worden dat het vermoeden waar is. Meer is niet nodig. Er is geen beroep nodig op een afgeronde of actuele oneindigheid van even getallen.

Kortom, een op eindige regels gebaseerde en daarmee eindige procedurele benadering volstaat om in het onderhavige geval te kunnen spreken over waar of onwaar. In tegenstelling tot wat Gijsbers vanuit Wittgenstein betoogt, is dus geen beroep nodig op een afgeronde of actuele oneindigheid. Ook wanneer een bewijs of tegenvoorbeeld voor het vermoeden van Goldbach niet in een eindig aantal stappen geconstrueerd kan worden, kunnen wij, zonder een actueel oneindig aantal getallen te veronderstellen, nog altijd spreken over het waar of onwaar zijn van Goldbach's vermoeden.

Niet-epistemische waarheid, wereldbeelden en retorica

Volgens Wittgenstein kan wat ik in mijn tweeluik Het Retorische Weten niet-epistemische waarheid noem niet gezegd worden. Het toont zich. Volgens Heidegger kan ze dichterlijk gezegd worden. Maar als een wereldbeeld niet-epistemisch waar kan zijn, zoals ik in genoemd tweeluik betoog, en als wereldbeelden retorische gehelen zijn, zoals ik daarin eveneens betoog, dan kan de niet-epistemische waarheid van een wereldbeeld alleen retorisch gezegd worden. Een niet-epistemisch waar wereldbeeld kan alleen door het retorische spreken tot spreken komen.

Pushing Wittgenstein’s minimalism to its extreme

It fits the intense and minimalist spirit of Wittgenstein’s Tractatus to argue that he not only rejected universal, existential, and negative facts, but also held that complex facts are ontologically nothing over and above atomic facts. Pushing his minimalism to its logical extreme, one might argue that Wittgenstein ultimately viewed the world as consisting of a set of atomic facts, exactly one per object, each involving only that object and chosen from two possible atomic facts pertaining to it. This would effectively render Tractarian objects as binary bits - each capable of being either ‘on’ or ‘off’. The world would then resemble a bit-like informational structure, a series of digital binary states, with each state corresponding to a single atomic fact involving a single object.

Wittgensteins Tractatus en het semantisch argument

Gisteren besprak ik uitgebreid mijn semantisch argument met Joop Leo van de afdeling Formal Semantics & Philosophical Logic van het Institute for Logic, Language and Computation in Amsterdam. Het was een mooi gesprek waarbij naast mijn semantisch argument ook de Tractatus van Wittgenstein de nodige aandacht kreeg. Zo besprak ik mijn eerder op dit blog uitgewerke interpretatie van Wittgensteins voorwerpen en atomaire feiten. Leo stelde vervolgens een fascinerend tegenvoorbeeld tegen het identiteitscriterum van mijn semantisch argument voor. Beschouw de concepten 'Aangetrokken worden door de planeet Aarde' en 'De planeet Aarde aantrekken'. Hierbij gaat het om de werking van de zwaartekracht. De betekenissen van deze concepten verschillen. Aangetrokken worden door de planeet Aarde is immers iets anders dan de planeet Aarde aantrekken. De referentieverzameling van het eerste concept is de verzameling bestaande uit de planeet Aarde verenigd met de verzameling van alle objecten die aangetrokken worden. De referentieverzameling van het tweede concept is de verzameling bestaande uit de planeet Aarde verenigd met de verzameling van alle objecten die aantrekken. De referentieverzamelingen van beide concepten lijken gelijk omdat iets aangetrokken wordt dan en slechts dan als het aantrekt. Terwijl de refentieverzamelingen gelijk lijken te zijn, verschillen ontegenzeggelijk de betekenissen van beide concepten, zodat een tegenvoorbeeld tegen het identiteitscriterium van mijn semantisch argument gevonden lijkt. Toch is van een tegenvoorbeeld geen sprake. Zo zijn er bijvoorbeeld virtuele deeltjes met een levensduur die zo kort is dat zij niet in staat zijn om tot een werkelijke manifestatie van aantrekking te komen, terwijl ze ondanks hun korte levensduur desalniettemin beïnvloed worden door het zwaartekrachtsveld waarin ze zich tijdens hun bestaan bevinden. Dit soort virtuele deeltjes behoren dus tot de eerste en niet tot de tweede referentieverzameling. Maar dan zijn zowel de betekenissen als de referentieverzamelingen van beide concepten verschillend, zodat van een tegenvoorbeeld geen sprake is. Dit laat echter onverlet dat Leo's voorstel een bijzonder fraaie en vernuftige poging betreft om tot een geslaagde weerlegging van mijn semantisch argument te komen.

Wittgenstein’s Tractatus as a Digital Metaphysics

The Wittgenstein of the Tractatus and his teacher Russell where both logical atomists. On logical atomism, the world consists of logically describable facts composed of elementary or atomic facts. A Tractarian world, though, requires fewer atomic facts than a Russellian world. Here's an example to illustrate this. Suppose reality consists of precisely one colorable thing, t, that can possess one of sixteen different colors G, B, R and so on. To model the possible worlds, Russell would need sixteen atomic facts denoted by atomic propositions such as Gt, Bt, and Rt. These facts are not logically independent, as the truth of Gt, for example, entails the falsehood of Bt. Wittgenstein, on the other hand, needs only four atomic facts to model reality, namely four simple objects or bits being 'on'. Since each of these four atomic facts can be actual or not, we arrive at 2 x 2 x 2 x 2 = 16 possible worlds in each of which the colorable thing t has precisely one of those sixteen different colors. Moreover, Wittgenstein's four atomic facts are logically independent from each other since each of them can be actual or not while the rest can remain the same. However, Wittgenstein pays both an ontological and epistemic price for obtaining modeling efficiency and logical independence. Ontologically, he needs four simple objects instead of just one colorable thing as Russell does. Epistemically, those four simple objects and corresponding four atomic facts are quite mysterious compared to Russell's rather straightforward sixteen atomic facts. The four simple objects are not colorable themselves. What are they? It's no surprise that, in his Tractatus, Wittgenstein never explains what the simple objects of the world amount to. Yet, the reference to bits in the above example suggests that a Tractarian world is ultimately akin to the binary structure of a digital information system. On a Tractarian metaphysics, reality appears to be analogous to software that operates within a computer. This implies that Wittgenstein may have understood the world we inhabit as being isomorphic to a virtual field of binary information. A digital-like structure of reality posits an intriguing vision of the world. Wittgenstein's Tractatus can be seen as a predecessor to our digital age. The idea of simple objects functioning like binary bits grounds a digital metaphysics, suggesting a binary reality that can be understood in terms of digital information long before the advent of modern computing.

Een voorzichtige aanzet tot een Tractariaanse logica

In de Tractatus leert Wittgenstein dat atomaire proposities mogelijke configuraties van voorwerpen afbeelden. Complexe proposities zijn dan logische combinaties van atomaire proposities. De voorwerpen vormen volgens Wittgenstein een configuratie zoals de schakels van een ketting. Dit betekent dat relaties niet bestaan. Er bestaan alleen configuraties van voorwerpen. Toch gebruikt Wittgenstein predicatenlogica in de Tractatus. De atomaire propositie F(a,b,c) drukt bijvoorbeeld uit dat de voorwerpen waar de namen a, b en c naar verwijzen in de F-configuratie staan. In de predikatenlogica wordt volop met relatiesymbolen gewerkt, zoals het voorbeeld F(a,b,c) laat zien. De geest van Wittgensteins Tractatus zou dus eigenlijk gevangen moeten worden in een logica waarin het relatiesymbool geen rol meer speelt. Er zou in een Tractariaanse logica slechts sprake mogen zijn van namen van voorwerpen en van een formele taal zonder relatiesymbolen om configuraties van voorwerpen te modelleren. Wanneer wij nog eens denken aan Wittgensteins beeld van configuraties van voorwerpen als geschakelde kettingen, dan kan ons dat wellicht op het idee brengen van zo'n logica. Neem de drie voorwerpen aangeduidt door de namen a, b en c. Wanneer deze een configuratie aangaan zoals de schakels van een ketting, dan zouden we bijvoorbeeld kunnen zeggen dat de voorwerpen a en b op ab_4 wijze geschakeld zijn, voorwerpen b en c op bc_7 wijze en voorwerpen a en c op ac_5 wijze. Dit zou dan uitgedrukt kunnen worden door de formule (ab_4)(bc_7)(ac_5). Er volgt dan bijvoorbeeld dat ab_4=ba_4 en dat (ab_4)(bc_7)(ac_5)=(bc_7)(ac_5)(ab_4). Het zou niet oninteressant zijn om een syntax en semantiek voor een dergelijke Tractariaanse logica in detail uit te werken.

De-wereld-voor-ons en Wittgensteins Tractatus

Volgens Wittgenstein is ons gevoel van de wereld als begrensd geheel het mystieke. Die begrenzing is gelegen in onze taal. Hij stelt namelijk dat de grenzen van onze taal steeds de grenzen van onze wereld zijn.

Uitgaande van mijn wereld-voor-ons kennisleer is de-wereld-voor-ons precies de wereld zoals wij deze als inherent talige wezens ervaren en denken. Wittgensteins Tractatus kan dan ook begrepen worden als een poging tot explicatie van de fundamentele logosmatige structuur van de-wereld-voor-ons.

Het gevoel van de wereld als begrensd geheel is precies het gevoel geworpen te zijn in de-wereld-voor-ons. En dit gevoel is inderdaad mystiek. De-wereld-voor-ons is voor ons het mystieke. Het is het permanent magische. Het 'op zichzelf' van de-wereld-voor-ons, de eigenstandige aard ervan, is voor ons als mensen volkomen en voorgoed onkenbaar. Nooit zullen wij het absolute kennen.

VU zomercursus: Geschiedenis van de filosofie

Volgende week start wederom de zomercursus Geschiedenis van de filosofie voor de tweejarige master Filosofie van Cultuur en Bestuur aan de Vrije Universiteit in Amsterdam. Ook dit jaar zal ik daarbinnen colleges geven over Avicenna, Aristoteles, Anselmus, Aquino, Scotus, Descartes, Frege, Russell, (de vroege) Wittgenstein en Gödel. Dit jaar hanteer ik onderstaande literatuurlijst. De audio-opnamen van twee jaar geleden zijn eveneens toegevoegd.

8 juni Aristotelische en middeleeuwse metafysica [audio1, audio2]

1. Over het hylemorfisme van Aristoteles
2. De metafysica van Aristoteles (fragmenten VI-VIII en IX-XII)
3. Over de zoektocht naar de eerste beginselen
4. Het ontologisch argument vanaf Anselmus
5. Nogmaals Anselmus
6. Alsnog Anselmus
7. Alweer Anselmus?

10 juni Het Cartesiaanse wereldbeeld [audio1, audio2]

8. Over de Cartesiaanse natuurwetenschap
9. Cartesiaanse meditaties

24 juni Ontstaan van de analytische wijsbegeerte [audio1, audio2]

10. De kleine Logicomix
11. Wittgensteins Tractatus
12. Wittgensteins enkelvoudige voorwerpen (sectie 4 niet)
13. Schakels of touwtjes?
14. De syllogismeleer van Aristoteles
15. De logica van Boole
16. De logica van Frege
17. Cantors verzamelingenleer
18. Russells paradox

De kleine Logicomix

In 2009 verscheen de Nederlandse vertaling van de prachtige beeldroman Logicomix van Apostolos Doxiadis en Christos Papadimitriou. De auteurs zijn erin geslaagd om op zeer aansprekende wijze het boeiende verhaal te vertellen van de laat negentiende en vroeg twintigste eeuwse zoektocht naar de fundamenten van de wiskunde. Deze epische en welhaast spirituele zoektocht naar absolute zekerheid en waarheid wordt verteld door de ogen van Bertrand Russell. Russell was zelf één van de belangrijkste denkers die zich met deze zoektocht heeft beziggehouden. Andere belangrijke personages in dit verhaal zijn Gottlob Frege, Ludwig Wittgenstein, Alfred Whitehead, David Hilbert en Kurt Gödel. Zij bouwden allen voort op werk van voorgangers. Vooral Aristoteles, Leibniz en George Boole zijn voor de zoektocht van groot belang geweest. Alle grote denkbeelden in wat later “de analytische filosofie” zou gaan heten zijn tijdens of als gevolg van de zoektocht van Frege, Russell, Wittgenstein en anderen ontstaan. In een nieuwe bijdrage op mijn website geef ik op hoofdlijnen de belangrijkste momenten van deze fascinerende zoektocht naar absolute zekerheid weer.

Schakels of touwtjes? Een inherente spanning in de metafysica van de Tractatus

In zijn Tractatus spreekt Wittgenstein over atomaire feiten. Een atomair feit is een configuratie van voorwerpen. Configuraties zijn verbindingen of connecties tussen voorwerpen. Elk voorwerp kan optreden in meerdere configuraties. Bovendien kan een gegeven aantal voorwerpen onderling verschillende typen configuraties aangaan. De vraag is nu wat de voorwerpen in een configuratie bijeenhoudt? Bevat een atomair feit naast de voorwerpen zelf ook nog andere constituenten die de voorwerpen samenvoegen tot het atomaire feit in kwestie? Is er ook nog zoiets als "cement" of "lijm" tussen de voorwerpen?

Volgens Wittgenstein is er niets wat de voorwerpen bijeenhoudt anders dan de voorwerpen zelf. De idee is dat voorwerpen onderling een configuratie aangaan zoals de schakels van een ketting. De schakels van een ketting zitten immers aan elkaar vast om een ketting te vormen zonder dat er iets nodig is buiten deze schakels zelf. De ketting bestaat alléén uit schakels en niet ook nog uit iets anders om deze schakels bijeen te houden. Evenzo passen de voorwerpen onderling in elkaar om een configuratie te vormen. Ze koppelen aan elkaar zonder daarbij nog iets anders nodig te hebben. De mogelijkheid van deze koppelingen ligt reeds besloten in de voorwerpen zelf, net zoals dat bij legostenen het geval is. Er zijn geen "touwtjes" tussen de voorwerpen nodig om ze bijeen te houden in een configuratie.

Wittgensteins model van de configuratie van voorwerpen als een ketting van schakels levert echter een lastig probleem op voor de metafysica van de Tractatus. Wittgenstein beweert namelijk dat de atomaire feiten onderling onafhankelijk zijn. Het bestaan van een bepaalde configuratie van voorwerpen wordt op geen enkele wijze uitgesloten of geïmpliceerd door het bestaan van andere configuraties van voorwerpen. Iedere mogelijke configuratie van voorwerpen kan optreden of niet, terwijl al het andere gelijk kan blijven. Het "ketting model" lijkt deze onafhankelijkeid van atomaire feiten echter tegen te spreken. Wanneer een aantal voorwerpen een configuratie aangaan zoals de schakels van een ketting, dan lijkt hierdoor het optreden van andere configuraties met deze voorwerpen ernstig bemoeilijkt te worden. Dit probleem treedt niet op als configuraties worden begrepen vanuit het "draadjes model". Het is immers altijd mogelijk draadjes tussen voorwerpen aan te brengen of weg te nemen zonder dat dit gevolgen heeft voor de overige draadjes.

Wittgenstein lijkt dus alleen te kunnen vasthouden aan de vermeende onafhankelijkheid van atomaire feiten indien hij zijn "ketting model" opgeeft en overstapt op zoiets als het "draadjes model". Een atomair feit bestaat dan naast uit voorwerpen ook nog uit constituenten die deze voorwerpen bijeenhouden (de "draadjes"). Dit kan hij echter niet omdat hij in tegenstelling tot Russell van mening is dat de atomaire feiten van de wereld uitsluitend uit voorwerpen bestaan en niet ook nog eens uit andere constituenten (zoals eigenschappen of relaties). We stuiten hier dus op een inherente spanning in de metafysica van de Tractatus.

Badiou in dialoog met de antifilosofie

"Hoe kan het evenement, het reële, de waarheid worden gedacht zonder [...] het bij voorbaat al te neutraliseren door het betekenis toe te kennen binnen de bestaande denkkaders? In L'anti-philosophie de Wittgenstein refereert Badiou aan Lacans bewondering voor Wittgenstein: wat Lacan aanspreekt in het denken van Wittgenstein is diens afwijzing [...] van de mogelijkheid van een 'metataal'. Het is altijd de ambitie van de filosofie geweest om die metataal te zijn, [...] de bron van iedere betekenisgeving te zijn. [Het gaat] de antifilosoof er juist om de verhouding tussen betekenis en waarheid opnieuw te denken, of beter: die twee los van elkaar te begrijpen. De antifilosofie verwijt de filosofie in de kern dat zij niet in staat is om zich buiten de begrenzing van de betekenis te begeven ('waarheid' blijft voor de filosofie altijd synoniem met 'betekenis' of 'zin') en het 'onzegbaar' reële te vatten - en hierdoor bijvoorbeeld blijft steken in tegenstellingen als zin/onzin, waarin voor de waarheid als datgene wat zich aan iedere gegeven betekenis onttrekt geen plaats is. [...] Het gaat een antifilosoof als Wittgenstein erom, in de antifilosofische daad, te tonen 'wat er is' in zoverre dat dit 'wat er is' in geen enkele propositie gevat kan worden. De antifilosofie van Wittgenstein of Lacan wil, als het ware, de grenzen van wat zeg- en denkbaar is volgens de filosofie in kaart brengen, niet omdat zij de rede wil doen capituleren voor de mystiek, maar juist om het reële [...] dat zich buiten de grenzen van het intrafilosofische bevindt te bevatten. [...] De antifilosofie, aldus Badiou, is allereerst de deconstructie van de pretenties van de filosofie om een allesomvattende theorie te willen zijn. [...] Waar het Badiou in zijn dialoog met de antifilosofie om gaat, is niet zozeer om de antifilosofie a priori gelijk te geven en uitsluitend op het gebrek van de filosofie te blijven wijzen, bij wijze van wijsgerig mea culpa. De uitdaging waarvoor de antifilosofie de filosofie stelt is om, met de middelen van de filosofie, een denken van de leegte als zodanig te formuleren - een denken van de waarheid als leegte, onttrokken aan de betekenis en de volledigheid. De dialoog met de antifilosofie stelt ons in staat, zegt Badiou, om de grenzen van de filosofie op te rekken, om haar te bevrijden uit al te knellende begrippenparen (zoals zin/onzin, waar/onwaar), om te tonen dat 'betekenisloosheid' en 'waarheid' elkaar niet uitsluiten." (Joost de Bloois, Badiou, Boom, Amsterdam, 2013, pp. 38-40)

Wittgenstein on the world's meaning (logicomix)

De logica van logicomix

Enige tijd geleden is de Nederlandse vertaling van de uiterst succesvolle Griekse beeldroman Logicomix verschenen. Logicomix vertelt het verhaal van de laat-negentiende en begin-twintigste eeuwse zoektocht naar absoluut zekere fundamenten voor de wiskunde. Als lezers beleven we de geschiedenis van deze zoektocht door de ogen van de Engelse wiskundige, logicus en filosoof Bertrand Russell die tot één van de belangrijkste hoofdrolspelers behoort van deze heroïsche jacht op onbetwijfelbare grondslagen. De zware zoektocht naar de ultieme fundamenten van de wiskunde is een echte 'queeste' in de traditionele betekenis van het woord. Het was een zeer lange reis vol avontuur die gepaard ging met enorme hindernissen en tegenslagen. De makers van Logicomix zijn er uitstekend in geslaagd om deze spannende fascinerende reis voor een breed publiek toegankelijk te maken.

Zoals ook uit de ondertitel van Logicomix blijkt was de queeste voor Russell en veel van de andere hoofdrolspelers meer dan een academische zoektocht naar gefundeerde onbetwijfelbare uitgangspunten voor de wiskunde. Het ging voor velen van hen vooral om het vinden van laatste ultieme onwankelbare waarheden. De zoektocht is dan ook eigenlijk een epische ontdekkingsreis naar absolute zekerheid over het wezen van de wereld. Uiteindelijk zou blijken dat de queeste onmogelijk volbracht kan worden. Het was de logicus Kurt Gödel die dit overtuigend heeft laten zien. Gödel bewees in de jaren dertig van de vorige eeuw dat de wiskunde niet volledig gegrondvest kan worden op een eindig aantal vaste uitgangspunten. Voor iedere eindige lijst van al dan niet zekere fundamenten bestaan er namelijk wiskundige theorema’s die vanuit deze lijst niet bewezen kunnen worden. Elke funderingspoging die de hele wiskunde tracht te grondvesten is dus noodzakelijk onvolledig. De gevolgen van Gödel's ontdekking voor de zoektocht waren immens. Toch kwam met zijn ontdekking de queeste niet geheel tot stilstand zoals de Logicomix wellicht doet vermoeden. Ook nu nog zijn er logici die proberen om de wiskunde zo veel mogelijk ter herleiden tot een beperkt aantal onbetwijfelbare uitgangspunten. De zoektocht nam echter na Gödel’s ontdekking nooit meer de centrale plaats in die zij daarvoor lange tijd had gehad.

In de Logicomix wordt ook op prachtige wijze ingegaan op de verschillen van inzicht tussen Russell en zijn leerling Wittgenstein over de aard van de logica en de wiskunde. Voor Russell is de logica een wetenschap die ons inzicht verschaft in de dieptestructuur van de werkelijkheid. Logica gaat dus over de wereld net zoals bijvoorbeeld de biologie, de geologie of de zoölogie. Het grote verschil met alle andere wetenschappen is echter dat de logica zich richt op de meest abstracte en de meest algemene eigenschappen van de werkelijkheid. Door logica leren we de fundamentele grondstructuur van de wereld kennen. Logica is zo voor Russell de weg tot zekere onbetwijfelbare waarheden over het wezen van de werkelijkheid. Bij Russell treffen we dus een rijke substantiële logica ofwel een logica vol inhoud. Zo behoort het nadenken over oneindigheid en de studie van de eigenschappen van verzamelingen tot het domein van de logica. De logica omvat volgens Russell uiteindelijk zelfs de gehele wiskunde. Zij is zo vol van substantiële inhoud dat volgens hem alle wiskundige waarheden restloos vanuit enkele zuiver logische inzichten bewijsbaar moeten zijn. Dit verklaart ook zijn streven om de felbegeerde zekere fundamentele grondslagen van de wiskunde uitsluitend te zoeken in de logica. Russell meent eveneens dat alle logisch-mathematische objecten onafhankelijk van de mens bestaan. Dit sluit natuurlijk goed aan bij zijn overige genoemde opvattingen. Getallen, meetkundige figuren, of meer in het algemeen verzamelingen, bestaan voor de platonist Russell dus als onveranderlijke extramentale objecten.

Zijn leerling Wittgenstein is het met al deze opvattingen volstrekt oneens. In zijn Tractatus Logico-Philosophicus uit 1922 heeft hij zijn denkbeelden over taal, logica en wiskunde nader uitgewerkt. Volgens hem betreft de logica niets meer dan de vorm van onze taal. Logica heeft geen enkele inhoud. Precies daarom kan er door ons ook niet over logica gesproken worden. Logica toont zich slechts als de vorm van onze taaluitingen. Op zichzelf beschouwd zijn logische proposities volstrekt inhoudsloze tautologieën zoals de bewering “Uit p of p volgt p”. Niet voor niets meent Wittgenstein dat logische objecten helemaal niet los van de mens bestaan. De logica is louter gegeven als de onuitspreekbare formele zuivere vorm van al onze taaluitingen en kent daarom geen onafhankelijk bestaan buiten de mens. Er ontstaan dan ook allerlei onoplosbare paradoxen zodra we, net zoals Russell, toch inhoud proberen te geven aan de logica en er vervolgens over proberen te spreken alsof het om zelfstandige objecten zou gaan. Russells beroemde paradox had Russell volgens Wittgenstein daarom aan het denken moeten zetten. Het had hem moeten waarschuwen voor het gevaar van iedere poging tot ontologische verzelfstandiging van de logica. Het hypostaseren van de logica is in strijd met haar aard en levert daarom altijd problemen op.

Over de status van de wiskunde denkt Wittgenstein ook heel anders dan zijn oude vriend Russell. Wiskundige proposities kunnen volgens Wittgenstein onmogelijk tot logische proposities herleidt worden. Wiskunde is niets meer of minder dan slechts een voor de mens handig instrument ofwel praktisch gebruiksmiddel. Wittgenstein wil daarom ook hier helemaal niets van platonisme weten.

De logicomix bevat naast de boeiende confrontatie tussen Russell en Wittgenstein nog veel meer intrigerende fragmenten van de welhaast spirituele zoektocht naar de allerlaatste fundamenten.

Ongetwijfeld een absolute aanrader!

Apostolos Doxiadis en Christos Papadimitriou (2009) Logicomix. Een epische zoektocht naar de waarheid. Uitgeverij De Vliegende Hollander.

Deze bijdrage werd eerder gepubliceerd op www.filosofieblog.nl