Een oneindige loterij (II)

In een eerdere bijdrage besprak ik een argument voor de bewering dat er geen oneindig veel concrete dingen buiten ons denken kan bestaan. Daarop ontving ik een objectie die dermate interessant is, dat zij een tweede bijdrage over dit argument rechtvaardigt. De objectie gaat als volgt. Stel dat je in het argument de tussenstap van oneindig veel concrete dingen in de wereld waaruit Jan en Mark een ding moeten kiezen weglaat en de deelnemers direct zelf een getal laat kiezen. In dat geval zijn er nog steeds oneindig veel meer getallen dan het getal dat beide deelnemers gekozen hebben. De paradox ontstaat dan dus nog steeds. Jan en Mark willen immers rationeel gezien ook nu weer wisselen. Maar dan zouden we in dit geval moeten concluderen dat er geen oneindig veel getallen zijn, wat natuurlijk onzinnig is. Er moet daarom iets mis zijn met het argument, aldus de objectie.

De verwijzing naar concrete dingen buiten ons denken kan echter niet uit het scenario weggelaten worden. Laat me uitleggen waarom. Essentieel voor het scenario is dat beide actoren iets kiezen uit een gegeven buiten hen bestaande verzameling dingen. Er moet dus een verzameling dingen in de wereld zijn en beide actoren moeten uit die werkelijk in de wereld bestaande verzameling een ding kunnen kiezen. Waarom is dit dan belangrijk? Welnu, als de actoren in plaats van een ding uit een buiten hen bestaande verzameling te kiezen, zelf een getal mogen opschrijven, dan zullen beide actoren (rationeel als ze zijn) eenvoudigweg gegeven de tijd die ze hebben het grootst mogelijke getal opschrijven. Als ik mij niet vergis is dat 9^9^9^...^9 (waarbij '^' staat voor 'tot de macht' en het aantal negens wordt bepaald door de snelheid waarmee de actoren kunnen schrijven en de tijdsduur die hen ter beschikking staat). Beide actoren zullen dan niet willen wisselen (aangenomen dat ze geen idee hebben wie van beiden het snelst schrijft). De paradox ontstaat hier dus niet, zodat de objectie faalt.

Wanneer er echter een oneindige verzameling concrete dingen buiten hen bestaat en men daaruit moet kiezen (dus wanneer er werkelijk een oneindig aantal dingen kan bestaan), dan werkt dit opschrijven van 9^9^9^..^9 niet. Men kan in dat geval namelijk ieder ding zó uit die verzameling pakken, hoe groot het getal van dat ding ook is. Het is voor hen dan dus zeer eenvoudig om dingen met getallen te kiezen die veel groter zijn dan wat ze zelf in de beperkte tijd die ze hebben kunnen opschrijven. De methode van het opschrijven van 9^9^9^...^9 werkt dan dus niet meer. En precies daarom ontstaat in het oorspronkelijke scenario wél de paradox die het scenario (en daarmee het bestaan van een oneindig aantal concrete dingen) onmogelijk maakt.

Een oneindige loterij

Het volgende argument voor de bewering dat er geen oneindig veel dingen kunnen bestaan, ontleen ik aan een lezing van Robert Koons, die zelf verwijst naar eerder werk van Alexander Pruss. Stel dat het metafysisch mogelijk is dat er oneindig veel dingen bestaan. Dan is het volgende scenario ook metafysisch mogelijk. Er zijn oneindig veel dingen die respectievelijk de nummers 1, 2, 3, ... hebben. Mark en Jan wordt gevraagd om elk een ding uit deze collectie te kiezen. Wie het ding met het grootste getal heeft gekozen, wint en krijgt 10.000 euro. Beschouw Mark. Hij redeneert als volgt. Er zijn oneindig veel getallen groter dan het getal dat ik zojuist heb gekozen. Daarentegen zijn er maar eindig veel getallen kleiner dan het door mij gekozen getal. Dit betekent dat Jan met aan zekerheid grenzende waarschijnlijkheid een groter getal heeft gekozen dan ik. De enige rationele beslissing voor mij is dus om aan Jan te vragen met hem te wisselen. Mark is ben zelfs bereid om hem daarvoor een bedrag te betalen, zeg 8000 euro. Maar Jan redeneert natuurlijk precies zo. Beide heren zijn dus bereid om elkaar 8000 euro te betalen om te wisselen. Dit kan redelijkerwijs nooit de uitkomst van een rationele kansberekening zijn. Het is incoherent dat het voor zowel Mark als Jan rationeel is om de ander 8000 euro aan te bieden om te wisselen. Het scenario in kwestie is dus onmogelijk. Het enige aspect dat hiervoor verantwoordelijk kan zijn, is het bestaan van oneindig veel dingen. Alle andere aspecten van het scenario zijn namelijk zeker mogelijk. Er kunnen dus geen oneindig veel dingen bestaan.

Moeten we logisch consistent zijn? (II)

Mijn stukje gisteren over de vraag of we logisch consistent moeten zijn, leidde op twitter en facebook tot wat vragen en discussie. Ik vul hieronder daarom nog wat aan. Het in genoemd stukje besproken criterium moet niet verward worden met de gangbare eis van logische consistentie. Het criterium luidt niet dat logische consistentie van een verzameling uitspraken een noodzakelijke voorwaarde is voor het redelijk kunnen accepteren ervan. En dit is maar goed ook. Het kan namelijk heel redelijk zijn om een verzameling uitspraken waarvoor we goede gronden hebben te accepteren, ook al kunnen we niet uitsluiten dat deze verzameling in zijn geheel logisch inconsistent is. Sterker nog, vanwege de beperktheid van onze menselijke cognitieve vermogens, komen dit soort situaties zelfs vaak voor. Weet Mark bijvoorbeeld zeker dat de verzameling uitspraken van een omvangrijk door hem geschreven wetenschappelijk boek logisch consistent is? Natuurlijk niet. Er kunnen hier en daar best uitspraken in dat boek staan die niet tegelijkertijd waar kunnen zijn. Jan kan dat niet afdoende uitsluiten. Toch accepteert Jan iedere zin van zijn boek. En terecht. Het eisen van logische consistentie voor het redelijk kunnen accepteren van een verzameling uitspraken is dan ook onhoudbaar. Een dergelijke eis legt de lat voor redelijkheid veel te hoog.

De eis van logische consistentie vormt zoals gezegd dan ook niet het onderwerp van mijn stukje van gisteren. Het daarin besproken criterium voor redelijkheid is veel zwakker. Nergens wordt geëist dat de verzameling uitspraken in kwestie logisch consistent moet zijn. Het criterium eist alleen maar dat als de desbetreffende verzameling logisch inconsistent is, dit in ieder geval niet geweten wordt door diegene die de verzameling wil accepteren. Dit zwakkere criterium lijkt, zoals ik gisteren aangaf, op het eerste gezicht wél adequaat.

Het aardige is echter dat zelfs dit zwakkere criterium niet in algemene zin houdbaar is. Waarom dit zo is, liet ik in genoemd stukje zien aan de hand van het voorbeeld van alle overtuigingen die iemand heeft. Ik zal dat hier niet herhalen. Het kwam er in essentie op neer dat je heel redelijk kunt zijn in het accepteren van al je overtuigingen en tegelijkertijd weet dat deze verzameling niet logisch consistent is. Het criterium faalt dan omdat eruit zou volgen dat je in dit geval juist niet redelijk bent in het accepteren van al je overtuigingen.

Nu kan tegengeworpen worden dat het voorbeeld slecht gekozen is omdat het nooit gaat om alle overtuigingen die iemand heeft. We bekijken in iedere situatie slechts een beperkte verzameling van overtuigingen, zoals bijvoorbeeld de overtuigingen die gezamelijk een bepaalde theorie vormen. Dit bezwaar is echter niet adequaat. Er zijn namelijk eveneens situaties denkbaar waarin het wel degelijk om een beperkt aantal overtuigingen gaat en iemand toch redelijk is in het accepteren van een verzameling uitspraken waarvan hij of zij weet dat deze logisch inconsistent is.

Neem een loterij met 10 triljard loten (verhoog dit aantal gerust naar believen) en precies één winnend lot. Voor ieder afzonderlijk lot accepteer je redelijkerwijs de uitspraak dat dat specifieke lot verliest. Je accepteert dus uitspraken als 'Lot 24245353 verliest', 'Lot 6868676342 verliest', etc. Tegelijkertijd accepteer je ook de uitspraak dat precies één lot wint. Welnu, de verzameling van deze 10 triljard + 1 uitspraken is logisch inconsistent. Ze kunnen onmogelijk allemaal waar zijn. Toch ben je niet irrationeel in het accepteren van deze verzameling. Het criterium faalt dus ook in situaties zoals deze, waarin het helemaal niet om alle overtuigingen van iemand gaat.

Voor hen die om wat voor reden dan ook bedenkingen hebben bij dit loterij voorbeeld zijn er ook andere voorbeelden, zoals het voorbeeld van Mark hierboven. Het is namelijk alleszins redelijk voor Mark om iedere afzonderlijke uitspraak uit zijn omvangrijke wetenschappelijke boek te accepteren en tegelijkertijd te accepteren dat hij heus wel ergens een foutje heeft gemaakt. Kortom, Mark kan dus redelijkerwijs een verzameling uitspraken accepteren (namelijk de verzameling van alle uitspraken in zijn boek tezamen met de uitspraak dat niet alle uitspraken in zijn boek waar zijn) waarvan hij weet dat deze logisch inconsistent is. Maar dan volgt opnieuw dat het criterium faalt omdat het ten onrechte impliceert dat Mark irrationeel is in zijn acceptatie van die verzameling.

Genoemd criterium is dus inderdaad onhoudbaar, ook wanneer we ons beperken tot beperkte verzamelingen van uitspraken. Je kunt redelijk zijn in het op basis van goede gronden accepteren van een beperkte verzameling uitspraken, ook wanneer je weet dat ze niet allemaal waar kunnen zijn. En dit ligt eigenlijk ook voor de hand. Neem maar de volgende analogie. Je kunt redelijk zijn in het met verstand van zaken helpen van een groep noodlijdende mensen, ook wanneer je weet dat je ze niet allemaal kunt redden.