In een eerdere bijdrage besprak ik een argument voor de bewering dat er geen oneindig veel concrete dingen buiten ons denken kan bestaan. Daarop ontving ik een objectie die dermate interessant is, dat zij een tweede bijdrage over dit argument rechtvaardigt. De objectie gaat als volgt. Stel dat je in het argument de tussenstap van oneindig veel concrete dingen in de wereld waaruit Jan en Mark een ding moeten kiezen weglaat en de deelnemers direct zelf een getal laat kiezen. In dat geval zijn er nog steeds oneindig veel meer getallen dan het getal dat beide deelnemers gekozen hebben. De paradox ontstaat dan dus nog steeds. Jan en Mark willen immers rationeel gezien ook nu weer wisselen. Maar dan zouden we in dit geval moeten concluderen dat er geen oneindig veel getallen zijn, wat natuurlijk onzinnig is. Er moet daarom iets mis zijn met het argument, aldus de objectie.
De verwijzing naar concrete dingen buiten ons denken kan echter niet uit het scenario weggelaten worden. Laat me uitleggen waarom. Essentieel voor het scenario is dat beide actoren iets kiezen uit een gegeven buiten hen bestaande verzameling dingen. Er moet dus een verzameling dingen in de wereld zijn en beide actoren moeten uit die werkelijk in de wereld bestaande verzameling een ding kunnen kiezen. Waarom is dit dan belangrijk? Welnu, als de actoren in plaats van een ding uit een buiten hen bestaande verzameling te kiezen, zelf een getal mogen opschrijven, dan zullen beide actoren (rationeel als ze zijn) eenvoudigweg gegeven de tijd die ze hebben het grootst mogelijke getal opschrijven. Als ik mij niet vergis is dat 9^9^9^...^9 (waarbij '^' staat voor 'tot de macht' en het aantal negens wordt bepaald door de snelheid waarmee de actoren kunnen schrijven en de tijdsduur die hen ter beschikking staat). Beide actoren zullen dan niet willen wisselen (aangenomen dat ze geen idee hebben wie van beiden het snelst schrijft). De paradox ontstaat hier dus niet, zodat de objectie faalt.
Wanneer er echter een oneindige verzameling concrete dingen buiten hen bestaat en men daaruit moet kiezen (dus wanneer er werkelijk een oneindig aantal dingen kan bestaan), dan werkt dit opschrijven van 9^9^9^..^9 niet. Men kan in dat geval namelijk ieder ding zó uit die verzameling pakken, hoe groot het getal van dat ding ook is. Het is voor hen dan dus zeer eenvoudig om dingen met getallen te kiezen die veel groter zijn dan wat ze zelf in de beperkte tijd die ze hebben kunnen opschrijven. De methode van het opschrijven van 9^9^9^...^9 werkt dan dus niet meer. En precies daarom ontstaat in het oorspronkelijke scenario wél de paradox die het scenario (en daarmee het bestaan van een oneindig aantal concrete dingen) onmogelijk maakt.
zondag 4 januari 2015
Abonneren op:
Reacties posten (Atom)
15 opmerkingen:
Beste Emanuel,
Het getal 10,34 heeft twee cijfers achter de komma.
Het getal 3,876445567 heeft negen cijfers achter de komma.
Er bestaan ook getallen met oneindig veel cijfers achter de komma.
Als ik een papieren vliegtuigje gooi, en kijk hoeveel seconden het duurt voordat het 1 meter ver is, dan zou ik in theorie precies op 1 seconde kunnen uitkomen. Een getal met 0 cijfers achter de komma.
Ik zou in theorie ook op een aantal seconden uit kunnen komen met een oneindig aantal cijfers achter de komma.
Mark en Jan vouwen beiden een papieren vliegtuigje, en gooien die 1 meter ver. Een scheidsrechter meet hoeveel seconden het vliegtuigje er over deed, en telt het aantal cijfers achter de komma. Mark en Jan krijgen vervolgens inzicht in dit getal en dit wordt hun getal, met aan beiden dan de keuze om te wisselen.
Wat ik hier mee wil aantonen is dat het wel degelijk mogelijk is om binnen een beperkte tijd een getal uit een oneindige reeks te selecteren.
Nu kunnen Mark en Jan beredeneren dat het meetinstrument van de scheidsrechter een eindige nauwkeurigheid heeft, zodat er in dit geval toch een eindig aantal cijfers achter de komma bestaat. Stel dat het meetinstrument honderd cijfers achter de komma kan meten, dan weet Mark dat hij beter niet kan ruilen als zijn getal 100 is ( die kans daarop is trouwens zeer groot ), maar in dit specifieke geval is de scheidsrechter God, en kan hij de snelheid met oneindige precisie weten.
Groet,
Arno
Minder belangrijk, maar aanvullend:
In je verhaal maak je niet duidelijk hoe Mark en Jan het getal te weten komen van het item dat ze hebben gekozen. In jouw verhaal worden ze eerst geïnformeerd over dit getal, en gaan ze vervolgens beredeneren dat er oneindig veel getallen zijn die groter zijn dan dat getal, maar eindig veel getallen die minder zijn. Maar hoe krijgen ze inzicht in hun gekozen getal? Lezen ze dit ergens? Krijgen ze dit van iemand te horen? Dit vergt toch ook tijd?
In een wereld met oneindig veel dingen is de kans oneindig groot dat Mark en Jan een getal kiezen waar ze in hun mensenleven niet genoeg tijd voor hebben om het te kunnen lezen/horen.
Groet,
Arno
Beste Arno,
Volgens mij hoef je voor jouw procedure niet eens uit te gaan van die 1 meter (die overigens sowieso vragen oproept. Moeten Jan en Mark bijvoorbeeld hun vliegtuigje precies 1 meter ver gooien? Is dat überhaupt mogelijk voor ze?), maar kun je Jan en Mark gewoon een vliegtuigje laten gooien zonder op de afstand of de tijd te letten. De scheidsrechter meet dan hoever ieders vliegtuigje gekomen is en hij of zij geeft vervolgens het aantal cijfers achter de komma aan respectievelijk Jan en Mark door. Deze procedure levert echter een probleem op. Zoals je wellicht weet is de verzameling irrationele getallen (dus met oneindig veel cijfers achter de komma) overaftelbaar oneindig, terwijl de verzameling rationale getallen (dus met eindig veel cijfers achter de komma) aftelbaar oneindig is. Dit betekent dat de scheidsrechter met kans 1 een afstand zal meten waarbij het aantal cijfers achter de komma oneindig is. Maar wat doet de scheidsrechter in dat geval? Welk getal geeft hij of zij door? Dit is in jouw procedure onbepaald. En daarom werkt de procedure niet.
Groet,
Emanuel
Beste Emanuel,
Een andere ingang dan; stel :
God neemt steeds een willekeurig eindig getal in gedachte uit de oneindige hoeveelheid getallen die er bestaan. Zonder het getal te vertellen mag Jan zeggen of dat hij dat getal wil kiezen, of mogelijk het volgende getal dat God in gedachten zal nemen. Net zo lang totdat Jan heeft aangegeven het getal te kiezen dat God op dat moment in gedachte heeft. Daarna zal Mark op eenzelfde wijze een getal kiezen. Op deze manier kiezen Jan en Mark beiden een getal. God zal beide personen vervolgens, ieder afzonderlijk, inlichten over hun gekozen getal. Wederom zullen beide personen concluderen dat de kans op een groter getal oneindig veel groter was geweest, en dat wisselen de beste strategie is.
God is niet ( zoals Jan en Mark ) gebonden aan tijd om een willekeurig getal te kiezen uit een oneindige reeks getallen, of vind jij van wel?
Dit zou dan wederom een paradox zijn. Maar in dit geval is er niet een oneindig aantal fysieke dingen nodig.
Beste Arno,
Die procedure kan ook nog wat vereenvoudigd worden. Laat God gewoon een willekeurig getal kiezen en aan Mark geven. En evenzo voor Jan. Beide heren zullen dan weer een kansredenering toepassen en op grond daarvan willen wisselen, zodat de paradox ontstaat.
Welnu, als dit de procedure is, dan komt het mij voor dat God willekeurig een getal uit een gegeven verzameling getallen kiest. Maar die verzameling moet dan wel bestaan, anders kan er geen getal uit gekozen worden. Stel je immers voor dat die verzameling er niet is. Hoe kan God dan willekeurig een getal kiezen? Waaruit kiest hij dan?
Kortom, de veronderstelling in jouw nieuwe scenario is dat er een oneindige verzameling van abstracte dingen bestaat (namelijk de getallen) waaruit God vervolgens kiest. En dit is een verschil met het oorspronkelijke scenario, waarbij de oneindige verzameling dingen een verzameling van concrete dingen betrof.
Uit jouw nieuwe scenario volgt dan, gegeven het feit dat de paradox ook in dit scenario optreedt, dat er geen oneindig veel abstracte dingen kunnen bestaan.
Kortom, de conclusie van het oorspronkelijke scenario is dat er geen oneindig veel concrete dingen kunnen bestaan en de conclusie van jouw nieuwe scenario is dat er ook geen oneindig veel abstracte dingen kunnen bestaan.
De objecten van de wiskunde zijn dus geen platoonse objecten. Want als dat wel zo was, dan zouden er wel oneindig veel abstracte objecten bestaan.
Groet,
Emanuel
Beste Emanuel,
Ik volg je helemaal, tot je laatste allinea. Daar ben je mij kwijt. Wat zijn platoonse objecten, en waarom zijn die hier relevant?
En beweer je nu dat er geconcludeert kan worden dat er niet een oneindige hoeveelheid getallen kan bestaan?
Want je oorspronkelijke redenering gaat uit van de vooronderstelling dat er een oneindige hoeveelheid getallen bestaat.
Groet,
Arno
Beste Arno,
Platoonse objecten zijn abstracte buiten ons denken bestaande objecten. Jouw variant van het scenario levert een argument op voor de bewering dat er geen oneindige verzameling platoonse objecten kan bestaan. Daaruit volgt weer dat getallen geen platoonse objecten zijn. Dit betekent echter niet dat getallen of verzamelingen van getallen een illusie zijn. Je kunt namelijk voor wat betreft de ontologische status van wiskundige objecten ook een conceptualist (getallen bestaan alleen als mentale concepten in de geest) of een constructivist (getallen zijn constructies) zijn.
Groet,
Emanuel
Beste Emanuel,
Ik weet niet of ik je dan nu goed begrijp, maar ik begrijp een beetje dat je de mening aanhangt dat God alleen een willekeurig getal kan kiezen indien getallen abstracte dingen zijn. En niet als getallen slechts mentale concepten zijn.
Welnu. Laten we even aannemen dat getallen slechts bestaan als mentale concepten in de geest. Jan, Mark en God bespreken met elkaar dit concept, net zolang tot ze een gezamenlijk concept hebben over wat getallen zijn. Net zoals jij en ik samen over getallen, en wat wij daaronder verstaan, kunnen praten.
Na dit gesprek zou God toch wel in staat kunnen zijn om een willekeurig getal te kiezen, ook al zijn getallen geen abstracte dingen?
Groet,
Arno
Beste Arno,
Het lijkt er inderdaad op dat God alleen een willekeurig getal kan kiezen indien getallen abstracte dingen zijn, zodat er een oneindige verzameling van (abstracte) objecten bestaat waaruit God kan kiezen. Ik zie even niet zo snel in hoe God een willekeurig getal zou kunnen kiezen indien zo'n verzameling niet bestaat. Want er is voor God dan geen collectie voorhanden om uit te kiezen. Anders gezegd, het model van iets willekeurigs kiezen uit een bestaande werkelijk voorhanden zijnde verzameling getallen werkt dan niet meer.
Groet,
Emanuel
Beste Emanuel,
Wederom heb ik het gevoel dat we elkaar niet begrijpen.
Ik begrijp:
- volgens jou kan uit de variant op het scenario geconcludeerd worden dat getallen ( en andere wiskundige objecten ) geen platoonse objecten kunnen zijn.
- desalniettemin betekent dit niet dat getallen en verzamelingen daarom een illusie zouden zijn
- immers, ze zouden ook kunnen 'bestaan' ( jouw woorden ) slechts in de geest
Jij bent in staat om een willekeurig heel getal te kiezen tussen 0 en 10.
Jij bent dus in staat om een willekeurig getal te kiezen uit een verzameling van 'dingen' die geen platoonse objecten zijn ( want getallen kunnen geen platoonse objecten zijn ).
Voor jou is het dus niet noodzakelijk voor een getal om een platoons object te zijn alvorens jij een getal kan kiezen.
Ik begrijp je redenatie dan niet dat God wel moeite heeft met het kiezen van een niet platoons getal uit een al of niet platoonse verzameling.
Of begrijpen we elkaar verkeerd en probeer je alleen maar te zeggen dat God weliswaar geen moeite heeft met het kiezen van een willekeurig heel getal tussen 0 en 10, maar wel met het kiezen van een getal uit een oneindige verzameling van getallen, omdat zo'n verzameling niet zou kunnen bestaan volgens de variant op het scenario?
Maar in dat geval snap ik het volgende niet:
Waarom is de conclusie die getrokken kan worden uit die variant van het scenario
"Er kunnen niet oneindig veel abstracte dingen bestaan"
En waarom niet
"Er kunnen niet oneindig veel getallen bestaan" ?
Deze laatste conclusie zou wel een merkwaardige conclusie zijn, want het lijkt mij evident dat getallen wel bestaan. Al is het maar slechts in de geest.
Deze discrepantie zou dan suggereren dat er iets niet klopt in de beredenering van het scenario. Bijvoorbeeld, ik noem maar iets, dat de redenatie uitgaat van het bestaan van God, wat misschien wel helemaal niet mogelijk is.
Goed, ik noem hier twee manieren waarop ik jouw beweringen kan interpreteren, en het is mij niet duidelijk welke ( if any ) jij bedoeld hebt.
Groet,
Arno
Beste Arno,
Het punt is inderdaad dat de paradox alleen optreedt voor oneindige verzamelingen en niet voor eindige verzamelingen. De conclusie die getrokken kan worden uit jouw variant van het scenario (even aangenomen dat het bestaan van God op z'n minst mogelijk is), is dat er geen oneindig veel abstracte objecten kunnen bestaan. Want als er wel een oneindig aantal abstracte objecten zou kunnen bestaan, dan kan God daar een willekeurig getal uit kiezen. De verzameling is dan immers werkelijk voorhanden, zodat er echt een willekeurig object uit deze voorhanden zijnde verzameling gekozen kan worden, zoals ik eerder schreef. En dan ontstaat dus de paradox waaruit volgt dat zo'n oneindige verzameling abstracte objecten niet kan bestaan.
Groet,
Emanuel
Beste Arno,
Als aanvulling. Getallen zijn daarmee dan geen illusie, maar gewoon mentale constructies, of zo je wilt formele constructies van symbolen en tekens. Er bestaat dan echter op geen enkel moment in de tijd een oneindige verzameling van dergelijke constructies (want daaruit zou dan immers weer willekeurig een getal gekozen kunnen worden, etc). Op ieder moment in de tijd is het aantal voorhanden constructies in de geest (i.g.v. mentale constructies) of in de taal (i.g.v. symbool constructies) eindig. En dit is ook hoe ik zelf over de ontologische status van wiskundige objecten (zoals getallen) denk.
Groet,
Emanuel
Laten we een variant van het scenario eens puur wiskundig benaderen.
Mijn wiskunde is wat roestig, maar jij kan mij vast helpen.
1) N is de verzameling getallen { 1, 2, 3, 4, .. }
2) a en b zijn beiden een element uit verzameling N
3) a <> b
4a) aantal getallen ( element van N ) > a = oneindig -a
4b) aantal getallen ( element van N ) < a = a-1
5) kans dat een ander getal dan a ( ook element van N ) groter is valt te berekenen als ( oneindig - a ) / ( oneindig - a + a - 1 ) = ( oneindig - a ) / ( oneindig - 1 ) = 1 of nadert 1
6a) b voldoet aan de definitie dat het een ander getal ( element van N ) is dan a
6c) kans dat b > a is dus 1 of nadert 1
7a ) regels 4a t/m 6c kunnen ook toegepast worden m.b.t getal b
7b) waaruit dan volgt kans a > b = 1 of nadert 1
Conclusies 6c en 7b sluiten elkaar echter uit en kunnen niet tegelijkertijd waar zijn.
Mogelijk conclusie A : er is iets fundamenteels fout in de wiskunde
Mogelijke conclusie B : verzameling N kan niet bestaan
Mogelijke conclusie C : er is iets fout binnen redenatie 5
Ik zou zelf opteren voor conclusie C.
Ik geloof dat de wiskunde over het algemeen de volgende principes hanteerd :
( oneindig - a ) = oneindig
( oneindig - 1) = oneindig
( oneindig - a ) / ( oneindig - 1 ) = oneindig / oneindig = ongedefinieerd.
De kansberekening die Jan en Mark hanteren in jouw oorsponkelijke argument is dus niet wiskundig onderbouwd.
Groet,
Arno
Hallo Emanuel,
Aanvulling op mijn vorige bijdrage, ter verduidelijking van de laatste alinea:
Als het gaat om willekeurige selecties kan je verschillende methodieken gebruiken om de kansen te beredeneren. Intuïtief, boerenverstand, en wiskundige kansberekening zijn voorbeelden van methodieken. De wiskundige kansberekening methodiek is daarin in de praktijk de best werkende methodiek gebleken. Een beter werkende methodiek is de mensheid niet bekend.
De wiskundige kansberekening zegt in dit geval dat er over de kansen dat het getal van de andere persoon hoger is niets zinnigs valt te zeggen. In dat geval ligt het dus voor de hand om te concluderen dat het niet uitmaakt of je wisselt of niet. Het ligt al zeker niet voor de hand om daar een groot geldbedrag voor neer te trekken.
Ook met verder beredeneren lijkt de conclusie van de wiskundige kansberekening correct te zijn. Jan beredeneerd terecht dat er veel meer getallen groter zijn dan zijn getal dan dat er getallen zijn die kleiner zijn dan zijn getal. Intuïtief heeft hij daarom het vermoeden dat het verstandig is om te wisselen. Dit intuïtieve gevoel klopt wiskundig ook in soortgelijke gevallen die een mens normaal gesproken mee maakt.
Dit is echter een speciale situatie, en in dit geval zegt de wiskunde iets anders.
Als Jan zelf verder beredeneerd dan ziet hij dat de situatie "er zijn veel meer getallen groter dan mijn getal dan dat er getallen zijn die kleiner zijn dan mijn getal" in dit specifieke geval op zal gaan ongeacht welk nummer hij zou krijgen. Zelfs als hij zelf een getal uit mocht kiezen. Ook dan moet Jan concluderen dat het niet uitmaakt of hij wisselt of niet.
Derhalve is het niet de meest voor de hand liggende strategie voor Jan en Mark om te wisselen, hetgeen jij beweerd. En daarom klopt jouw argumentatie niet.
groet,
Arno
Beste Emanuel,
het verhaal van Jan en Mark levert een paradox enkel omdat of doordat men vertrekt van een foute voorstelling van het begrip "oneindig veel dingen".
De paradox ontstaat hier enkel doordat men een verzameling van oneindig veel dingen begint te gaan nummeren van 1 tot oneindig. Men moet echter geen rangorde inbrengen in iets dat een oneindige veelheid is. Het enige wat men hier mag besluiten is, dat wanneer men oneindig veel dingen gaat nummeren met getallen dat er dan een paradox ontstaat zoals in het verzonnen verhaaltje van Jan en Marc. Men mag en kan er niet uit besluiten dat er niet oneindig veel dingen kunnen bestaan. De paradox is er dus enkel wanneer men de oneindig vele dingen een nummer, een getalwaarde gaat geven. Als je oneindig veel dingen gewoon als een rechte van puntjes (= dingen)beschouwt die links naar oneindig en rechts naar oneindig loopt, dan maakt het niet uit op welke plaats men (Mark en Jan) een ding eruit neemt, want altijd zijn er links en rechts oneindig veel dingen over. Zelfs als men de puntjes van die rechte een ijkpunt geeft bvb een getal 1 aan een puntje geeft, dan zijn er oneindig veel getallen rechts van die 1 en dat zijn dan positieve getallen (+2, +3...enz tot + oneindig) en oneindig veel getallen links van die 1 (-1, -2,...tot - oneindig). In zo'n situatie kan men niet eens meer zeggen of Jan of Mark een "hoger" of "lager" getal heeft, dat begrip valt immers weg. Is bvb het getal -50 hoger of lager dan het getal +3? In wezen niet. Op een oneindige rechte van puntjes (dingetjes) heeft dat geen betekenis meer.
Je paradox klopt misschien wel, maar de vergelijking van oneindig veel dingen met een genummerde verzameling niet. Er treedt dus slechts enkel een paradox op wanneer men dingen een rangorde, een nummer gaat geven. Voor mij is het geen overtuigend argument of bewijs dat er niet oneindig veel dingen zouden kunnen bestaan.
Een reactie posten