woensdag 24 december 2014

Een oneindige loterij

Het volgende argument voor de bewering dat er geen oneindig veel dingen kunnen bestaan, ontleen ik aan een lezing van Robert Koons, die zelf verwijst naar eerder werk van Alexander Pruss. Stel dat het metafysisch mogelijk is dat er oneindig veel dingen bestaan. Dan is het volgende scenario ook metafysisch mogelijk. Er zijn oneindig veel dingen die respectievelijk de nummers 1, 2, 3, ... hebben. Mark en Jan wordt gevraagd om elk een ding uit deze collectie te kiezen. Wie het ding met het grootste getal heeft gekozen, wint en krijgt 10.000 euro. Beschouw Mark. Hij redeneert als volgt. Er zijn oneindig veel getallen groter dan het getal dat ik zojuist heb gekozen. Daarentegen zijn er maar eindig veel getallen kleiner dan het door mij gekozen getal. Dit betekent dat Jan met aan zekerheid grenzende waarschijnlijkheid een groter getal heeft gekozen dan ik. De enige rationele beslissing voor mij is dus om aan Jan te vragen met hem te wisselen. Mark is ben zelfs bereid om hem daarvoor een bedrag te betalen, zeg 8000 euro. Maar Jan redeneert natuurlijk precies zo. Beide heren zijn dus bereid om elkaar 8000 euro te betalen om te wisselen. Dit kan redelijkerwijs nooit de uitkomst van een rationele kansberekening zijn. Het is incoherent dat het voor zowel Mark als Jan rationeel is om de ander 8000 euro aan te bieden om te wisselen. Het scenario in kwestie is dus onmogelijk. Het enige aspect dat hiervoor verantwoordelijk kan zijn, is het bestaan van oneindig veel dingen. Alle andere aspecten van het scenario zijn namelijk zeker mogelijk. Er kunnen dus geen oneindig veel dingen bestaan.

23 opmerkingen:

Deteminist zei

Dezelfde argumentatie geldt voor een eindige reeks waarbij er 50% kans bestaat. Hierbij stellen we echter niet dat daarom de reeks niet bestaat. Waarom dan wel voor een oneindige reeks?

Emanuel Rutten zei

Beste Determinist,

In het onderhavige scenario mogen Mark en Jan (beschouw ze gerust als ideale rationele actoren) elk een ding uit een collectie dingen kiezen met als doel om het spel te winnen. Toch zijn ze na afloop zonder van elkaars keuze op de hoogte te zijn allebei rationeel gecommitteerd om te willen wisselen met de ander. Dat levert ontegenzeggelijk een incoherentie op. Kun jij een soortgelijke incoherentie schetsen voor een eindige loterij? Zo ja, dan ben ik benieuwd.

Groet,
Emanuel

Determinist zei

Bij de oneindige reeks weten we dat beiden een kans van 50% hebben dat ze het hoogste nummer trekken.

Het staat ook in de startpost "Maar Jan redeneert natuurlijk precies zo". Ze hebben dus gelijke kans.

Het is dus zowel rationeel als irrationeel om te wisselen in een dergelijke situatie. Het zal namelijk je kans niet doen toenemen of afnemen. Door het wisselen ga je niet van 50% kans naar, stel 60% kans of hoger. Wisselen heeft dus geen zin.

Uit een eindige bak met lottoballen 1..n hebben beiden dezelfde kans een hoger getal te kiezen dan de ander wanneer deze onafhankelijk en blind een keuze maken.

Ook hier geldt dat het wisselen geen slechtere of betere kans geeft en daarmee heeft wisselen geen voordeel.

In dit laatste voorbeeld kunnen we niet stellen dat omdat ze beiden dezelfde kans hebben en rationeel/irrationeel kunnen wisselen met elkaar dat de reeks niet bestaat.

Emanuel Rutten zei

Beste determinist,

De situatie is in het geval van de oneindige reeks inderdaad symmetrisch. Desalniettemin is er met de in mijn bijdrage beschreven redenering van Jan en Mark niets mis, en precies daarom is deze situatie incoherent (paradoxaal zo je wilt). In het geval van eindig veel dingen {1, ..., n} ontstaat er geen paradox omdat Jan en Mark dan beide het grootste getal (n) zullen kiezen en niet willen wisselen.

Groet,
Emanuel

Determinist zei

Emanuel, is het niet zo dat Mark en Jan ten onrechte denken te moeten wisselen? In een oneindige reeks is het niet zo dat wisselen een voordeel biedt, al lijkt je redenering op te gaan. Net zoals het geen voordeel biedt als je het eindejaarslot vlak voor de trekking met je buurman omwisselt.

Ik denk dus dat de redenering van Mark en Jan in de basis al mis is.

Ik zie de incoherentie niet die opgeworpen wordt en daarmee niet als argument om te stellen dat oneindigheid niet bestaat.

Emanuel Rutten zei

Determinist? Natuurlijk is het (om maar eens een krachtterm te gebruiken) absurd voor Mark en Jan om te willen wisselen. De situatie is immers volstrekt symmetrisch. Dit mag dan ook nooit de conclusie zijn van een rationele afweging. Maar met de formele redenering van Jan en Mark is niets mis. Je kunt daar geen fout in aanwijzen. Ze passen de kansrekening volkomen correct toe. En precies daarom is het scenario paradoxaal. De conclusie moet daarom luiden dat dit scenario niet mogelijk is (omdat ze tot een logische tegenspraak leidt). Wat kan nu de oorzaak zijn van de onmogelijkheid? Het enige aspect van het scenario dat daarvoor in aanmerking komt, is de oneindigheid van de collectie. Want alle andere aspecten ervan zijn zeker mogelijk.

Bert Morrien zei

Beste Emanuel,

Je lijkt hier een bewijs uit het ongerijmde te willen gebruiken dat aantoont dat er geen oneindig veel dingen kunnen bestaan.
Ik zie een paar problemen.
Zo kan je conclusie alleen maar betrekking hebben op genummerde dingen want de generalisatie naar alle dingen lijkt mij niet geoorloofd.
Ik neem aan dat beide deelnemers identieke kansen hebben een ding uit de oneindige verzameling te kiezen.
Deelnemer A kiest X en deelnemer B kiest Y.
De kans dat X groter dan Y is, is even groot als de kans dat X kleiner is dan Y.
Er lijkt mij geen winnende strategie mogelijk. Het is mij dus niet duidelijk waarom A zou willen ruilen met B.
Jouw introductie van een absurde strategie om te winnen kan ik moeilijk zien als de absurditeit die het aantal genummerde dingen limiteert. Je lijkt er hier bovendien van uit te gaan dat de kans op een bepaald nummer gemiddeld de helft van oneindig is en dat zowel X als Y om onduidelijke redenen veel kleiner dan dat gemiddelde is.
Ik betwijfel daarom dat er met de formele redenering van Jan en Mark niets mis is.
Kortom, er lijkt mij teveel aan jouw gedachte-experiment te mankeren om daar geldige conclusies uit te trekken.

Of het aantal dingen begrensd is zou je moeten betwijfelen, want Robbert Dijkgraaf beweerde op 28-11-2014 in 'De Wereld Draait Door' dat het aantal dingen oneindig is en veel groter dan het aantal mogelijke configuraties van dingen, waardoor het zeker is dat er veel van dezelfde dingen zijn.
https://www.youtube.com/watch?v=tGMq7V5aG3E

Emanuel Rutten zei

Beste Teun,

Er ging iets mis tijdens het doorzetten van jouw reactie. Gelukkig kon ik de reactie zelf nog terughalen. Ik plaats hem hieronder.

Groet,
Emanuel

Beste Emanuel,

Maken Jan en Mark niet een denkfout?
Moeten wij niet zeggen dat elk getal dat men kiest uit een oneindige reeks altijd kleiner is dan het aantal vervolggetallen?
Als Jan en Mark zich dat beide realiseren zullen zij inzien dat ruilen geen zin heeft. Beide hebben ze een kans van 1 op 2.

met vr. groet,
Teun

Bert Morrien zei

Bij mijn eerste reactie ben ik niet ingegaan op mogelijke scenario's voor dit probleem, omdat direct duidelijk was dat de bewijsmethode van Emanuel niet overtuigend is.
In dit experiment hebben we Mark, Jan en de opdrachtgever die ik Salomo noem, hij is de opdrachtgever en moet bepalen wie er wint.
Nu moeten Mark en Jan beiden een groot getal aan Salomo overdragen. Volgens Claude Shannon kost dat tijd. Naarmate het getal groter is, kost dat meer tijd. Een winnende strategie is dus langer volhouden dan de ander.
Aangezien er maar 10 k te verdienen valt, is het niet verstandig voor Mark en Jan om dit avontuur te beginnen, want alleen de langstlevende kan dan winnen en het is ook nog mogelijk dat Salomo het niet overleeft en dan valt er niets te winnen.
Maar ook als zij er in het hiernamaals mee door zouden gaan, is het niet verstandig, omdat het einde zoek is en er in het hiernamaals wel iets beters te doen is, tenminste dat is te hopen.
Als er iets een doodzonde is, dan is het wel deelname aan dit experiment, daar verdien je de hemel niet mee.

Emanuel Rutten zei

Beste Teun,

Met de redenering die jij geeft is natuurlijk niets mis. Het heeft inderdaad geen enkele zin voor Jan en Mark om te willen wisselen indien we ervan uitgaan dat zij als volstrekt rationeel handelende actoren eerst zelf een getal hebben mogen kiezen. Maar, en dat is nu juist het punt, met de formele kansredenering van Jan en Mark in mijn stukje is ook niets mis. Uit die zuiver formele kansredenering volgt wel degelijk dat wisselen rationeel is. En precies omdat beide redeneringen geldig zijn, ontstaat in dit scenario een paradox. Het scenario is incoherent en dus redelijkerwijs onmogelijk. Welnu, het enige aspect van het scenario dat in aanmerking komt om als onmogelijk van de hand te wijzen, is het beroep op het bestaan van oneindig veel dingen. Met de overige aspecten van het scenario is immers logischerwijs niets mis. Maar dan volgt dus dat er geen oneindig veel dingen kunnen bestaan.

Groet,
Emanuel

Anoniem zei

De redenering is... er kunnen niet oneindig veel dingen bestaan, omdat je er geen gefingeerde loterij over kunt houden?
Als je de tussenstap 'dingen' weg laat en de deelnemers nu eens direct getallen laat kiezen. Dan zijn er nog steeds oneindig veel méér getallen hoger dan het getal dat een deelnemer kiest.
Dus (met dezelfde redenering) willen ze wisselen, dus, met dezelfde redenering, kunnen er niet oneindig veel getallen bestaan.
Apart, daar denken ze op de wiskundefaculteit anders over.

Emanuel Rutten zei

Beste anoniem,

Prima vraag! De verwijzing naar dingen buiten ons denken kan echter niet uit het scenario weggelaten worden. Laat me uitleggen waarom. Essentieel voor het scenario is dat beide actoren iets kiezen uit een gegeven buiten hen bestaande verzameling dingen. Er moet dus een verzameling dingen in de wereld zijn en beide actoren moeten uit die werkelijk in de wereld bestaande verzameling een ding kunnen kiezen. Waarom is dit dan belangrijk? Welnu, als de actoren in plaats van een ding uit een buiten hen bestaande verzameling te kiezen, zelf een getal mogen opschrijven, dan zullen beide actoren (rationeel als ze zijn) eenvoudigweg gegeven de tijd die ze hebben het grootst mogelijke getal opschrijven. Als ik mij niet vergis is dat 9^9^9^...^9 (waarbij het aantal negens wordt bepaald door de snelheid waarmee de actoren kunnen schrijven en de tijdsduur die hen ter beschikking staat). Wanneer er echter een oneindige verzameling dingen buiten hen bestaat en men daaruit moet kiezen (dus wanneer er werkelijk een oneindig aantal dingen kan bestaan), dan werkt dit opschrijven van 9^9^..^9 niet. Men kan in dat geval namelijk ieder ding zó uit die verzameling pakken, hoe groot het getal van dat ding ook is. Het is voor hen dan dus zeer eenvoudig om dingen met getallen te kiezen die veel groter zijn dan wat ze zelf in de beperkte tijd die ze hebben kunnen opschrijven. De methode van het opschrijven van 9^9^9^9^...^9 werkt dan dus niet meer. En precies daarom ontstaat wel degelijk de paradox die het scenario (en daarmee het bestaan van een oneindig aantal dingen) onmogelijk maakt. Maar nogmaals, je stelt een uitstekende vraag!

Groet,
Emanuel

Anoniem zei

Beste Emanuel,

Het scenario dat je in je eerste bijdrage schetst zou ook als volgt kunnen verlopen.
Nadat beiden gekozen hebben vraagt Mark aan Jan of hij wil ruilen voor 8000 euro.
Jan denkt erover na wat Mark's motief kan zijn en concludeert: "Het motief van Mark om te ruilen kan niets anders zijn dan dat hij denkt dat ik uit de oneindige reeks een veel groter getal getrokken heb dan het eindige getal dat hijzelf getrokken heeft" en Jan doorziet dit direct als een denkfout. En hij beseft dat één van hen beiden het grootste getal heeft getrokken, alleen is nog niet bekend wie.( zo simpel is het). Hij heeft in ieder geval geen reden om te denken dat Mark een kleiner getal heeft getrokken dan hijzelf.
Jan zegt oké, hij ruilt, strijkt 8000 euro op en weet dat hij een kans van 1 op 2 behoudt.
Lankmoedig als hij is neemt hij zich wel voor om, als hij wint, 4000 aan Mark terug te betalen.
Het verlies van de andere 4000 moet Mark dan maar incasseren als leergeld.
Vr. groet,
Teun

Determinist zei

Beste Emanuel,

Laat ik even deze quotes pakken uit één van je posts:

"Natuurlijk is het (om maar eens een krachtterm te gebruiken) absurd voor Mark en Jan om te willen wisselen"

"Maar met de formele redenering van Jan en Mark is niets mis"

Als de redenering correct zou zijn (is niets mis mee) dan zou het niet absurd zijn om te willen wisselen.

Maar het is absurd omdat de redenering niet klopt.

Het is niet zo dat je wilt wisselen, het initiële uitgangspunt is namelijk absurd. Ieder heeft gewoon even veel kans op het hoogste getal. Waarom dan stellen dat ze willen wisselen?
Zou jij dat doen?

In plaats van het herhalen van je stelling zou je wellicht even in kunnen gaan waarom je zegt dat er "niets mis is met de formele redenering".

Als jij kunt aantonen dat er niets mis is kunnen we verder. Maar het stokt bij mij al bij dit punt. Ik stel dat er WEL iets mis is met de redenering en dan kan je deze logischerwijs niet als argument gebruiken voor je stelling dat oneindigheid niet bestaat.

Emanuel Rutten zei

Beste Determinist,

Zoals ik in mijn stukje schrijf: "Beschouw Mark. Hij redeneert als volgt. Er zijn oneindig veel getallen groter dan het getal dat ik zojuist heb gekozen. Daarentegen zijn er maar eindig veel getallen kleiner dan het door mij gekozen getal. Dit betekent dat Jan met aan zekerheid grenzende waarschijnlijkheid een groter getal heeft gekozen dan ik. De enige rationele beslissing voor mij is dus om aan Jan te vragen met hem te wisselen". En precies omdat met deze redenerning niets mis lijkt (mocht je er een logische fout in ontdekken, dan hoor ik het wel), ontstaat in het desbetreffende scenario een paradox (want natuurlijk is het onzin om te willen wisselen, om nog maar een keer een krachtterm te gebruiken). Daaruit volgt dat het scenario onmogelijk is. En dat betekent dan weer dat er iets in dat scenario onmogelijk moet zijn. Het enige wat daarvoor in aanmerking komt is het bestaan van oneindig veel objecten. Want met de andere aspecten van het scenario lijkt niets mis.

Groet,
Emanuel

Determinist zei

Het gaat om deze zin:

"Dit betekent dat Jan met aan zekerheid grenzende waarschijnlijkheid een groter getal heeft gekozen dan ik"

Deze is niet logisch. De waarschijnlijkheid is namelijk 50% en niet hoger en ook niet lager. Zowel Jan als ik kunnen een hoger getal gekozen hebben.

Zelfs als de eerste keuze die gemaakt is meer keuzes heeft die hoger zijn is het niet zo dat de andere keuze waarschijnlijk hoger is.

In mijn ogen zit de onlogica in die ene zin.

En daarmee kan je de opvolgende zin niet onderbouwen:

"De enige rationele beslissing voor mij is dus om aan Jan te vragen met hem te wisselen"

Deze conclusie is dus onjuist.

En daarmee kan je IMHO niets zeggen over het wel dan niet bestaan van oneindigheid.

Emanuel Rutten zei

Beste Determinist,

Natuurlijk is het onzinnig om te willen wisselen. De situatie is immers volstrekt symmetrisch. Maar waarom ontstaat er dan een paradox? Welnu, deze ontstaat zodra je je richt op de kansredenering van Jan en Mark. Neem bijvoorbeeld Jan en stel dat hij een ding met getal N koos. Hij past vervolgens de volgende kansredenering toe. Er zijn oneindig veel getallen groter dan N en slechts een eindig aantal getallen kleiner. De kans dat Mark een getal groter dan N gekozen heeft is dus vele malen groter (want er zijn oneindig veel verschillende opties) dan de kans dat hij een getal kleiner dan N gekozen heeft (want hiervoor zijn slechts een eindig aantal opties). En precies omdat met deze kansredenering eveneens niets mis lijkt(*), ontstaat de paradox.

Groet,
Emanuel

(*) Vergelijk het met een grote vaas waarin oneindig veel blauwe balletjes zitten en slechts een eindig aantal witte balletjes. Natuurlijk is de kans dat je willekeurig een blauw balletjes kiest veel groter dan de kans dat je een wit balletje kiest.

Arno zei

Beste Emanuel,

Zie ook mijn reacties op je tweede blogbericht over dit argument.

Als Jan een ding met getal N koos dan redeneert Jan ( en jij ) dat de kans op een groter getal velen malen groter was geweest.

Laten we kijken hoeveel malen groter dat dan precies is.

Dat is precies ( oneindig - N ) / ( N - 1 )

In geval van N = 1 levert dat delen door 0 op. Het kan in dit specifieke geval ook niet anders zijn dan dat het andere getal groter is, want er is in de reeks resterende mogelijkheden niets dat kleiner is dan 1.

In geval dat N nadert naar oneindig zal je zien dat de uitkomst steeds meer de 0 nadert.

Het is dus gewoon niet zo dat de kans op een groter getal altijd groter is.

Groet,
Arno

Emanuel Rutten zei

Beste Arno,

Je past hier de kansrekening verkeerd toe. Er bestaat geen uniforme kansverdeling op de natuurlijke getallen (de som van alle kansen moet immers 1 zijn en dat levert een probleem op omdat de som van een oneindig aantal gelijke strikt positieve getallen uiteraard niet gelijk is aan 1). Dus als je een kansverdeling wilt invoeren, dan zul je er een moeten kiezen waarbij P(X=n) strikt montoon daalt voor n naar oneindig. En dan valt de kansberekening heel anders uit (we krijgen dan een variant van de zogenaamde 'two envelope paradox').

Groet,
Emanuel

Arno zei

Beste Emanuel,

Grappig en interessant leesvoer over de 'two envelope paradox'. Ik kom daar later zeer waarschijnlijk op terug.

Maar eerst even een andere argument tegen je redenering, vanuit weer een ander invalshoek :

P1) Naarmate getallen groter worden beginnen ze uit meer cijfers te bestaan

P2) Er is redelijkerwijs een limiet aan het aantal cijfers dat een menselijke geest kan bevatten.

Uit P1 en P2 volgt dat er dus een grootste getal bestaat dat de menselijke geest kan bevatten. Laten we zeggen dat dit getal N is, en dat is bijvoorbeeld een getal dat bestaat uit twintig miljard cijfers, maar N zou ook meer of minder kunnen zijn. Het zal ook van mens tot mens wisselen. Ik heb al moeite met het onthouden van telefoonnummers.

Er bestaan veel meer getallen groter dan N dan getallen kleiner dan N. ( we hebben het nog steeds over positieve gehele getallen )

P3) Jouw argumentatie vereist dat zowel Jan en Mark hun getal geestelijk kunnen bevatten. Anders zouden ze de door jouw beschreven logische afweging niet op die manier kunnen maken zoals jij het beschrijft. Jouw argumentatie beschrijft dus alleen die situaties waarin zowel Jan als Mark een getal hebben gekregen kleiner of gelijk aan N

Laten we aannemen dat het logisch is voor zowel Jan en Mark om dan te willen wisselen.

Dat is dan echter nog geen paradox. Deze situatie is namelijk te vergelijken met een situatie waarin Jan en Mark kunnen kiezen uit 10.000 dingen. Jan kiest getal 12, en Mark kiest getal 7. Zowel Jan als Mark zouden logischerwijs willen wisselen. Deze afweging kunnen ze wiskundig onderbouwen. Toch is dit geen paradox die het onmogelijk maakt dat er 10.000 dingen kunnen bestaan.

Het zou pas een paradox zijn indien genoemde overwegingen van Jan en Mark zou optreden in alle mogelijke situaties. Maar P3 zorgt ervoor dat jouw argumentatie zich beperkt tot bepaalde situaties.

Derhalve is er geen sprake van een paradox

Anoniem zei

De fout in het gehele betoog zit hem in het feit dat men met het verhaal van Jan en Mark een fout beeld creëert van het begrip "oneindig veel dingen". Men koppelt hier aan die oneindig veel dingen getallen (van 1 tot oneindig) waardoor er een rangorde ontstaat binnen die dingen. Die wiskundige rangorde levert het probleem en de paradox op. Zie ook mijn reactie op filosofie.be.
Het verhaal dat best logisch klinkt en een logische paradox creëert, bewijst totaal niet dat er niet oneindig veel dingen kunnen bestaan. De verzameling van oneindig veel dingen mag men niet beperkend voorstellen als een halve rechte met een beginpunt dat men een getal 1 geeft met daarnaast hogere getallen tot oneindig. Men moet het beter beschouwen als een rechte die zowel naar links als naar rechts naar het oneindige toe loopt. Als men dan toch aan die puntjes van die in twee richtingen oneindige rechte wil toekennen, dan wordt de keuze van Jan en Mark onbelangrijk wat het getal betreft. Er zijn dan immers (oneindig veel) getallen boven +1 en getallen onder -1. Wat Jan of Mark ook als ding kiezen, men kan van het getal dat het heeft niet meer bepalen of het hoger of lager is dan dat van de andere.

Emanuel Rutten zei

Beste anoniem,

Als een oneindige verzameling dingen kan bestaan, dan kan zo'n verzameling wel degelijk keurig gerepresenteerd worden door de positieve natuurlijke getallen {1,2,3,...}. Dat levert logisch-wiskundig geen enkel probleem op. En ja, uiteraard zijn er veel scenario's denkbaar waarin de paradox niet ontstaat (zoals in het geval van eindig veel dingen, of oneindig veel dingen genummerd volgens {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}). Voor het argument is het echter voldoende als er tenminste één scenario bestaat waarin de paradox wél optreedt. En dat is dus bijvoorbeeld het geval voor het scenario waarbij de dingen genummerd zijn volgens {1,2,3,..}. Dat dit inderdaad een logisch mogelijke nummering is, is evident. Met positieve natuurlijke getallen is immers logisch-wiskundigs niets mis.

Groet,
Emanuel

Anoniem zei

Beste Emanuel,

Veronderstel dat Jan tegen Mark zegt dat hij wil ruilen voor 8000 euro en dat Mark na enig nadenken zegt:"Ja graag, want wij hebben allebei een eindig getal getrokken en er is geen enkele reden om te denken dat het getal dat jij getrokken hebt kleiner is dan het getal dat ik getrokken heb, dus kom maar op met die 8000 euro".(dat het nogal ontactisch is van Mark om dit tegen Jan te zeggen doet er verder niet toe).
Als Jan dan toch nog wil ruilen is er geen enkele paradox en als hij ervan afziet ook niet.
Jij zegt in je laatste reactie: "Voor het argument is het echter voldoende als er tenminste één scenario bestaat waarin de paradox wél optreedt".
Maar als men goed nadenkt kán er geen paradox optreden, hooguit een schijnparadox als gevolg van een denkfout.

vr. groet,
Teun