Hempels paradox

Zonder het stellen van interessante vragen is vooruitgang in de filosofie of op welk ander terrein dan ook ondenkbaar. In de jaren veertig van de vorige eeuw stelde de logicus Carl Gustav Hempel zo'n vraag. Neem de bewering dat alle raven zwart zijn. Deze bewering kan worden weerlegd door het observeren van één niet-zware raaf. Zoveel is duidelijk. Maar hoe kunnen we nu laten zien dat deze bewering waar is? Daartoe zouden we alle raven in de natuur moeten observeren en vaststellen dat ze allemaal zwart zijn. Dit is onbegonnen werk. Bovendien kunnen we zo nooit vaststellen dat we inderdaad alle raven geobserveerd hebben. We kunnen nooit weten of we ze echt allemaal gezien hebben, zelfs wanneer dit feitelijk wel het geval zou zijn. Kortom, het enige wat we kunnen doen is de waarschijnlijkheid van de bewering vergroten door steeds meer zwarte raven waar te nemen. Iedere keer wanneer we weer een zwarte raaf zien, neemt de waarschijnlijkheid van de bewering dat alle raven zwart zijn weer een beetje toe. Absolute zekerheid zullen we zo echter nooit bereiken, hoeveel raven we ook gezien hebben.

Tot zover is er weinig aan de hand. Maar let nu op. Hempel merkte fijntjes op dat de bewering dat alle raven zwart zijn logisch equivalent is aan de bewering dat alle niet-zwarte dingen geen raaf zijn. Deze beweringen komen anders gezegd op hetzelfde neer. Wie zegt dat alle raven zwart zijn, zegt niets anders dan wie zegt dat alle niet-zwarte dingen geen raaf zijn. Want als iedere raaf zwart is, dan moet een niet-zwart ding geen raaf zijn. En als ieder niet-zwart ding geen raaf is, dan moet iedere raaf zwart zijn.

Nu lijkt het redelijk om te beweren dat logisch equivalente beweringen waarschijnlijker worden gemaakt door dezelfde observaties. Ze komen immers zoals gezegd op hetzelfde neer. Maar dan moeten alle observaties die de bewering "Alle niet-zwarte dingen zijn geen raven" waarschijnlijker maken, ook de bewering "Alle raven zijn zwart" waarschijnlijker maken. Die twee beweringen zijn immers equivalent. Ze impliceren elkaar. Ze komen op hetzelfde neer.

Dit leidt tot een wellicht verrassende conclusie. Neem de volgende observaties. Mijn rode trui. Jouw witte schoenen. Marks gele fiets. Eva's blauwe jas. De groene auto aan de overkant van de straat. En het witte kopje hier op tafel. Al deze observaties maken de bewering dat alle niet-zwarte dingen geen raaf zijn waarschijnlijker. Op grond van het voorgaande moeten wij dus concluderen dat al deze observaties de bewering dat alle raven zwart zijn ook waarschijnlijker maken. Het waarnemen van gele fietsen, blauwe jassen, groene auto's, en witte kopjes maakt de bewering dat alle raven zwart zijn dus waarschijnlijker! Gaat dat niet geheel tegen onze redelijke intuïtie in? Is dat in feite niet volkomen paradoxaal? Die observaties van groene auto's, witte kopjes en zo hebben toch helemaal niets te maken met het al dan niet zwart zijn van raven? Hoe kunnen die observaties de bewering dat alle raven zwart zijn dan in vredesnaam waarschijnlijker maken?

Dat is Hempels vraag. En het is inderdaad een interessante vraag. Ze nodigt ons uit tot verder nadenken. Toch is het antwoord op deze vraag niet al te ingewikkeld. Hiertoe introduceer ik het begrip "fatale observatie". Een fatale observatie voor de bewering dat alle raven zwart zijn is een niet-zwarte raaf. Want zodra we één niet-zwarte raaf zien, is de bewering dat alle raven zwart zijn weerlegd.

Nu kunnen we in het algemeen zeggen dat naarmate we meer willekeurige observaties doen, en naarmate die observaties niet fataal zijn, dus geen tegenvoorbeeld opleveren, de bewering in kwestie waarschijnlijker wordt. Het is hierbij van belang dat die observaties echt volkomen willekeurig zijn. Het heeft bijvoorbeeld weinig zin om alléén niet-raven te gaan bestuderen. Want daarvan weten we op voorhand al dat ze nooit tot een fatale observatie zullen leiden. Een niet-zware raaf zullen we zo immers nooit tegenkomen. Dat weten we op voorhand al. Een dergelijke manier van observeren zal dus niet bijdragen aan het waarschijnlijker maken van de stelling. Wie zo te werk gaat speelt vals. We dienen dus op een volstrekt willekeurige manier allerlei uiteenlopende dingen uit de werkelijkheid te kiezen en te bekijken, zodat we bij iedere observatie ook echt de mogelijkheid openhouden een niet-zwarte raaf tegen te komen. We moeten er dus voor te zorgen dat iedere keer wanneer we een nieuwe observatie doen deze op elk denkbaar ding in de werkelijkheid gericht kan zijn, en niet alleen op niet-raven.

We dienen ons anders gezegd in onze observaties kwetsbaar op te stellen. Iedere keer wanneer we zo op geheel willekeurige wijze een rode stoel waarnemen, of een zwarte raaf, of een blauwe jas, dan maken we inderdaad de bewering dat alle raven zwart zijn weer een beetje waarschijnlijker. Want we hebben dan opnieuw een mogelijk fatale observatie overleeft. En hoe meer van onze observaties niet fataal blijken te zijn, hoe meer observaties door de bewering overleeft worden, hoe waarschijnlijker ze wordt. Kortom, ook observaties zoals rode auto's, blauwe truien en zo maken de bewering dat alle raven zwart zijn een beetje waarschijnlijker, zolang ze maar het resultaat zijn van een totaal willekeurig observatieproces. Zo wordt duidelijk dat wat aanvankelijk paradoxaal leek in feite helemaal niet onbegrijpelijk hoeft te zijn.

Bijdrage RD zaterdag 18 februari: Wel goede argumenten, geen bewijs

In 2013 hebben de computerwetenschappers C. Benzmüller van de Vrije Universiteit Berlijn en B. W. Paleo van de Technische Universiteit Wenen laten zien dat het ”wiskundig bewijs” voor het bestaan van God van de logicus Kurt Gödel correct is. Betekent dit nu ook dat het bestaan van God bewezen is en we dus zeker weten dat Hij bestaat?

JA
Het godsbewijs van de Oostenrijkse logicus Kurt Gödel (1906-1978) is een vorm van het zogeheten ontologische godsbewijs. Deze redenering om het bestaan van God aan te tonen gaat terug op de middeleeuwse theoloog Anselmus van Canterbury. Hij definieerde God als „datgene waarboven niets groter gedacht kan worden.” Als het volmaaktst denkbare wezen moet God noodzakelijk bestaan, zo was zijn conclusie.
Ontologische argumenten beginnen vanuit ons zuivere denken en doen geen enkel beroep op zintuiglijke ervaringen. Vanuit een definitie van God wordt vervolgens door strikt logische redeneerstappen aangetoond dat God bestaat. Gödels godsbewijs is een moderne variant van de redenering van Anselmus. De conclusie van zijn versie luidt dat er een wezen bestaat dat alle positieve eigenschappen bezit, zoals almacht, algoedheid, alwetendheid enzovoort. Dit noodzakelijk bestaand volmaakte wezen is de grond van de wereld.
De informatici Benzmüller en Paleo hebben laten zien dat Gödels afleiding van de conclusie uit zijn uitgangspunten of premissen logisch geldig is. Ze hebben met hun speciale software aangetoond dat Gödels conclusie netjes kan worden afgeleid uit zijn premissen. Gödels afleiding is logisch correct. Zijn conclusie dat God bestaat volgt onverbiddelijk uit de door hem gehanteerde aannames. Dit is ook niet zo verwonderlijk wanneer we ons realiseren dat Gödel na Aristoteles de grootste logicus ooit is. Wie de premissen van Gödels afleiding accepteert, heeft geen keus en moet ook zijn conclusie accepteren dat God bestaat.

NEE
Maar dienen wij deze premissen ook te aanvaarden? Hoe zeker zijn we eigenlijk van de waarheid ervan? Welnu, daar doen Benzmüller en Paleo géén uitspraak over. Die premissen zijn namelijk niet van logische of wiskundige aard. Het gaat om aannames over de fundamentele structuur van de werkelijkheid, die niet met een computer gecontroleerd kunnen worden. Zolang niet met zekerheid is vastgesteld dat de premissen waar zijn, is van een dwingend bewijs voor het bestaan van God dus geen sprake.
Dit alles is geen probleem indien Gödels premissen volstrekt zelfevident zijn. In dat geval kunnen we niet anders dan ze aanvaarden en hebben we inderdaad een bewijs voor het bestaan van God. Het probleem is echter dat Gödels premissen zeker niet zelfevident zijn. In de filosofie bestaat er veel discussie over. Zo is niet helemaal duidelijk wat nu precies in Gödels premissen onder een ”positieve eigenschap” verstaan moet worden. De premissen zijn dan ook hoogstens plausibel en maken daarom de conclusie dat God bestaat ook hoogstens plausibel. Of bescheidener: ze verhogen slechts de plausibiliteit van het bestaan van God.
Bovendien dienen we direct de vraag te stellen om welke God het hier gaat. Gaat het om de God van het christendom of om de God van een van de andere monotheïstische tradities? Om vervolgens ook nog te beargumenteren dat dit noodzakelijk bestaande perfect wezen dat de grond is van de wereld in feite de God is waarvan het christendom als sinds eeuwen getuigt, is aanvullende argumentatie nodig. Gödels afleiding helpt ons hier echt niet verder.
Dat Gödels ”godsbewijs” geen bewijs is, hoeft ons overigens zeker niet te verbazen. Het bestaan van God kan namelijk niet bewezen worden. Niet voor niets wordt een godsbewijs in het Engels een ”argument” genoemd. Dat is wat we wel kunnen doen: argumenten geven voor Zijn bestaan. Deze argumenten laten zien dat het alleszins redelijk is om te denken dat God bestaat. Ze maken het bestaan van God plausibel.
Sterker nog, al deze argumenten samen laten zien dat theïsme de meest redelijke positie is. Maar absolute en onfeilbare zekerheid? Nee, dat kunnen dergelijke argumenten niet geven. Het gaat niet om bewijzen, maar om het inzichtelijk maken van de redelijkheid van geloof in God. Het christelijk geloof brengt zekerheid met zich mee, maar die is van een andere orde dan de zekerheid van een rationele bewijsvoering. Redelijke argumenten kunnen deze zekerheid wel ondersteunen.

DUS
Naast de ontologische argumenten voor het bestaan van God, zijn er nog vele andere, zoals kosmologische, teleologische, morele en esthetische argumenten. Al deze argumenten maken gezamenlijk het bestaan van God heel erg waarschijnlijk. Kortom, we hebben in onze tijd een buitengewoon sterke cumulatieve casus voor het bestaan van God.

Dr. ir. Emanuel Rutten is als onderzoeker verbonden aan het Abraham Kuyper Centrum voor Wetenschap en Religie van de Vrije Universiteit in Amsterdam.

De immanente esthetische orde

Er is een harde immanente esthetische orde die de gehele natuur doorkruist. Ieder mens bezet in deze meedogenloze natuurlijke orde een bepaalde plaats. Deze natuurlijke plaats wordt bepaald door zijn of haar geestelijke en lichamelijke schoonheid. Ontkennen dat er zo'n ordening bestaat heeft geen enkele zin. Ze is er eenvoudigweg. We worden er bijna dagelijks mee geconfronteerd. Het is de natuur zelf die ieder van ons in deze hiërarchie plaatst. Zij die in somatisch en noëtisch opzicht schoner zijn dan anderen staan onverbiddelijk hoger in deze natuurlijke orde. Zo nemen we allemaal een bepaalde natuurlijke positie in. We worden allemaal genadeloos ten opzichte van elkaar gerangschikt. De esthetische orde is bovendien factisch. Ze kan op geen enkele wijze adequaat beargumenteerd worden. Nu zijn mensen op grond ervan niet gelijk aan elkaar. Ze verschillen onderling zelfs radicaal. Is hiermee dan het laatste woord gezegd? Nee, dat is niet het geval. Door het openen van een transcendent perspectief kan ingezien worden dat mensen desalniettemin gelijkwaardig zijn. Deze gelijkwaardigheid heeft een bovennatuurlijke oorsprong omdat de natuurlijke esthetische orde haar niet impliceert. Op grond waarvan zouden we vanuit een louter immanent perspectief immers kunnen vaststellen dat onderling verschillende mensen gelijkwaardig zijn? Wie slechts uitgaat van de onverbiddelijke immanente esthetische orde heeft niets om deze gelijkwaardigheid in te funderen. Spreken over menselijke gelijkwaardigheid is daarom altijd al een spreken vanuit een overstijgend sacraal perspectief. Het is meer precies een spreken vanuit een goddelijk perspectief. Alleen vanuit een goddelijk perspectief kan gelijkwaardigheid als een extra ultieme maat over de immanente natuurlijke ruimte gelegd worden.