dinsdag 21 januari 2014

An new a priori argument for atomism

In what follows I propose a new a priori argument for mereological atomism. Mereological atomism is the thesis that every composite object is ultimately composed of simple objects. Simple objects are objects without proper parts.

Take a formal additive measure of being. This measure measures the amount of being contained in each object. Let O be an object and denote the amount of being contained in O by being(O). Thus, being(O) is zero in case there is no object O. Let the objects {Oi}i compose object O. Hence {Oi}i is a composition of O. The additive nature of the involved measure implies that being({Oi}i) = Σi[being(Oi)].

Strictly speaking the aformentioned formula is not well-formed since being(.) has been defined as a function on objects and not as a function on sets of objects. Yet, this is not a problem. We can extend the domain of being(.) to the collection of all mereological sums. In that case the formula becomes being(sum{Oi}i) = Σi[being(Oi)].

According to the principle of composition-as-identity, object O simply is the objects {Oi}i taken together, that is, object O is nothing above or beyond the objects {Oi}i taken as a totality. From this it follows that being(O) = being(sum{Oi}i) = Σi[being(Oi)].

Next, let O be an object and let Ω and Ω* be two different compositions of O such that every object in Ω* is either equal to or a part of an object in Ω. In that case Ω* is called a refinement of Ω. It follows that being(Ω) = [being(Ω) – being(Ω*)] + being(Ω*). This formula indicates that the amount of being at a certain level of composition is the arithmetical sum of the amount of being at the previous level and the incremental amount between both levels.

Let {Ωn}n be a sequence of compositions of object O such that Ω0 = O and such that for all natural numbers n composition Ω(n + 1) is a refinement of composition Ωn. The sequence {Ωn}n is either finite or infinite. Suppose first that {Ωn}n is finite and let ΩN denote the final composition in the sequence. It follows that being(O) = Σ(n=1 to n=N) [being(Ω(n – 1)) – being(Ωn)] + being(ΩN).

How should this arithmetical formula be adapted to the case that {Ωn}n is infinite? This case is obtained if N proceeds to infinity and the final composition ΩN vanishes from the sequence. Hence, the only natural answer appears to be that in that case one obtains the formula being(O) = Σ(n=1 to n=∞) [being(Ω(n – 1)) – being(Ωn)].

Note that I’m not claiming here that the formula for the infinite case can be mathematically derived from the formula for the finite case. For, such a claim would be clearly ungrounded. The reasoning is qualitative and not quantitative. The structure of the formula for the finite case expresses the insight that the amount of being of some composite is obtained bottom-up in precisely two ways, namely (a) incremental influx of being between the levels of composition and, (b) inheriting the amount of being already available at the lowest level. But then the equivalent structure for the infinite case is just an infinite sum of incremental infusions of being. After all, in the infinite case there is no lowest level and therefore only (a) applies here. This conceptual reasoning should not be taken for a quantitative mathematical derivation of the infinite formula from the finite one.

Now suppose, for reductio, that atomism is false. In that case there is a composite object C that is not composed of simple objects. Due to the principle of supplementation C is composed of two or more other objects. So, there is a composition of C. Since C is not composed of simple objects there is an infinite sequence of compositions {Ωn}n of C such that for every natural number n composition Ω(n + 1) is a refinement of composition Ωn. It thus follows that being(C) = Σ(n=1 to n=∞)[being(Ω(n – 1)) – being(Ωn)].

Further, the principle of composition-as-identity implies that being(C) = being(Ω(n – 1)) and being(C) = being(Ωn). Hence, for all natural numbers n, it follows that being(Ω(n – 1)) – being(Ωn) = 0. This implies that being(C) = Σ(n=1 to n=∞)[being(Ω(n – 1)) – being(Ωn)] = Σ(n=1 to n=∞)[0] = 0. But then being(C) = 0 which implies that there is no object C. This contradicts with the fact that object C does in fact exist. Therefore, the initial assumption that atomism is false needs to be rejected. It thus follows that atomism is true.

This fragment is obtained from my dissertation (pp. 129-131)

12 opmerkingen:

Bert Morrien zei

Beste Emanuel,
In je bewijs trek je twee instanties van being van elkaar af. Als dit toelaatbaar is, dan impliceert dit de mogelijkheid van being(x)<0.
Uitgaande van een waarde van 0 voor het gehele universum, bestaat het door ons waargenomen universum dan bij de gratie van een ander deel van het gehele universum met een negatieve waarde.
De vraag is dan, wat de betekenis van being(x)<0 zou kunnen zijn.
Merk op, dat in de kosmologie het begrip negatieve energie wordt gebruikt om de totale energie van het universum op de (plausibele) waarde van 0 te kunnen stellen.

Emanuel Rutten zei

Beste Bert,

In mijn argument trek ik geen 'instanties van being' van elkaar af. De functie 'being(.)' beeldt zijnden ('beings') af op getallen. Ik trek dus getallen van elkaar af. En voor alle n is being(Ω(n – 1)) – being(Ωn) gelijk aan of groter dan 0. De reden hiervoor is dat Ω(n) een 'refinement' is van Ω(n-1) en compositie nooit resulteert in een afname van de hoeveelheid 'being', zodat being(Ω(n – 1)) altijd gelijk is aan of groter is dan being(Ωn). Bovendien, als voor twee beings x en y geldt dat being(x) - being(y) < 0, dan volgt daar geenszins uit dat being(x) of being(y) negatief is. De functie 'being(.)' heeft immers als bereik de positieve getallen (inclusief 0).

Groet,
Emanuel

Bert Morrien zei

Beste Emanuel,

Als je uitsluitend getallen bewerkt, kan je daaruit uitsluitend conclusies over getallen trekken.
Zodra je getallen afbeeldt op iets anders, krijgen die getallen betekenis, in het onderhavige geval de waarde van de functie being(). Je zegt nota bene zelf dat wanneer die waarde gelijk aan 0 is, er sprake is van iets dat niet bestaat.
Je kan natuurlijk stellen dat being() alleen geldt voor natuurlijke getallen, omdat je steeds AB's (atomaire beings) aan het tellen bent.
Als we aannemen being(Gehele Universum) >> 0, dan ontstaat, bij mij althans, de vraag waar al die AB's vandaan komen. De eenvoudigste oplossing is dat je ze "leent" van 0, ziedaar de mogelijke bestaansgrond voor negatieve waarden van being().

Emanuel Rutten zei

Beste Bert,

Het bereik van de functie 'being(.)' hoeft zich helemaal niet te beperken tot de natuurlijke getallen. Je kunt als bereik bijvoorbeeld de positieve rationale getallen (inclusief 0) of de positieve reële getallen (inclusief 0) nemen. Voor alle atomaire beings (atomen) A geldt being(A) > 0. De waarde van being(zijnsgeheel) is dus ook groter dan 0. Er zijn goede argumenten voor de stelling dat één van de atomen geldt als de eerste oorzaak van alle andere atomen. Dit betekent dat er een uniek atoom bestaat dat zelf onveroorzaakt is en dat tevens geldt als de (in)directe oorzaak van alle andere atomen. In mijn proefschrift heb ik een dergelijk argument ontwikkeld. Zie eventueel http://goo.gl/rquCbh voor een verkorte toegankelijke weergave ervan.

Groet,
Emanuel

Bert Morrien zei

Beste Emanuel,

Je zou best gelijk kunnen hebben dat alles met één niet-veroorzaakt being-atoom (BA) is begonnen, laten we dit BA1 noemen.
Ik denk dat being(universum)=0 enerzijds de meest logische toestand is, maar omdat het niet te ontkennen valt dat er minstens één BA bestaat, kan een waarde van 0 geen stabiele toestand zijn.
Ik denk dat er veel voor te zeggen is dat dit begin ook de eerste symmetriebreuk was, omdat dit een principe is dat het overleven van BA1 mogelijk kan maken, waarbij dit uiteen valt in BA1a en BA1b, welke delen door een symmetriebreuk niet meer verenigd kunnen worden. We krijgen dan being(BA1a) + being(BA1b) = 0, zodat deze waarde voor het universum geconserveerd wordt.
Verschillende wetenschappers gaan er van uit dat alle bekende krachten en elementaire deeltjes door symmetriebreking verklaard kunnen worden en sommigen denken zelfs dat dit ook voor de fine-tuning van het universum geldt.

BA1 moet dus minstens in staat zijn een faseverandering te ondergaan, die stabiel is. Bovendien moet het in staat zijn om een evolutie te ondergaan, omdat het anders bij dit éne BA was gebleven.

Ik heb geen idee hoe complex BA1 zou moeten zijn om dit mogelijk te maken, maar het lijkt mij dat de meest bescheiden definitie van een God nogal wat complexiteit veronderstelt, waarvan ik moeilijk kan geloven dat BA1 daaraan voldoet, want ik denk dat we met BA1 nog heel dicht bij de eenvoudigste elementaire deeltjes zitten.

Het ontstaan van grotere complexiteit is mogelijk omdat BA1 kan evolueren. Daarvoor lijkt maar weinig nodig te zijn, zoals Stephen Wolfram bewijst met zijn cellulaire automaten in ''A New Kind of Science'', waarbij hij ook nog laat zien dat daar eveneens symmetriebreuken kunnen ontstaan.

Speculatie? Zeker, maar mij dunkt minder vergezocht dan de veronderstelling dat aan BA1 Goddelijke eigenschappen kunnen worden toegeschreven.

Je kan ook nog de vraag stellen of BA's al stoffelijk zijn; ik denk dat de stoffelijkheid van BA's onstaat door de symmetriebreking, maar omdat ik ook denk dat being(universum)=0, vrees ik dat stoffelijheid (en daarmee onstoffelijkheid) een leeg begrip is.
Om soortgelijke redenen denk ik dat de begrippen leven en geest ook geen fundamentele betekenis hebben.
Ik ben al wat ouder, maar ik denk dat jij het nog gaat meemaken dat machines bewustzijn krijgen en dan ben ik heel benieuwd hoe jij daarop reageert.

Nog even over getallen en hun betekenis: ik kan me niet voorstellen dat je b.v. Douglas Hofstadter hebt gemist.

Groet,
Bert.

Emanuel Rutten zei

Beste Bert,

Natuurlijk heb ik Douglas Hofstadters Gödel-Escher-Bach niet gemist. Zie ook "Het Lucas argument tegen het mechanisme" op gjerutten.nl

Groet,
Emanuel

Bert Morrien zei

Beste Emanuel,

Merkwaardig dat Hofstadter op basis van Gödel's stelling, die in wezen gaat over zelf-referentie, tot de conclusie komt dat juist die zelf-referentie cruciaal is. Gödel's stelling doet uitspraken over zichzelf.
Je zou zelfs kunnen zeggen dat de stelling hier uit het eerste persoonsperspectief spreekt.
Was Hofstadter in GEB misschien nog niet duidelijk genoeg, in "I Am A Strange Loop" zegt hij dit:
"When, some ten years or so later, I started working on my first book, whose title I imagined would be “Gödel’s Theorem and the Human Brain”, my overarching goal was to relate the concept of a human self and the mystery of consciousness to Gödel’s stunning discovery of a majestic wraparound self-referential structure (a “strange loop”, as I later came to call it) in the very midst of a formidable bastion from which self-reference had been strictly banished by its audacious architects. I found the parallel between Gödel’s miraculous manufacture of self-reference out of a substrate of meaningless symbols and the miraculous appearance of selves and souls in substrates consisting of inanimate matter so compelling that I was convinced that here lay the secret of our sense of “I”, and thus my book Gödel, Escher, Bach came about (and acquired a catchier title)."

Lucas daarentegen, beweert dat de geest het beter doet dan een (Gödeliaanse) machine.
In 1961 zou je dat nog kunnen denken, maar Lucas lijkt de machine net zo te onderschatten als hij de geest overschat, gezien de ontwikkelingen in AI en de hersenwetenschappen.
Bovendien lijkt het Lucas argument niet zozeer op een tegenspraak uit te lopen, maar meer op een bewijs van de creatieve vermogens van de machine die hij opvoert.
In bv. "The Quest for Artificial Intelligence - Stanford AI Lab (http://ai.stanford.edu/~nilsson/QAI/qai.pdf)"
is op pag. 393 het volgende lezen.
"Ideas about what “computation” can be are ever expanding, so those who would claim that the brain is not a computer will need to be more precise about just what kind of computer the brain is not. (After all, if some people, like Lucas, can restrict what a machine can be, it seems only fair that others can expand the de nition of what a computer can be.)"
Kortom, Lucas overtuigt mij niet en je weet nu ook waarom.
Hoe hij jou kan overtuigen is mij een raadsel.

Groet,
Bert

Emanuel Rutten zei

Beste Bert,

Hoe kom je erbij dat Lucas mij overtuigt? In mijn vorige reactie wees ik je op mijn "Het Lucas argument tegen het mechanisme" op gjerutten.nl. Uit dat stuk kun je helemaal niet opmaken dat ik het met Lucas eens ben. Ik zou het maar eens (goed) bekijken. En dan vooral de laatste slide.

Groet,
Emanuel

Bert Morrien zei

Beste Emanuel,

Hoe ik erbij kom dat Lucas jou overtuigd is mij nu duidelijk: je eindigt je artikel met een retorische vraag waarvan ik, blijkbaar ten onrechte, veronderstelde dat jij die bevestigend beantwoordt en ik gaf daarbij inderhaast een foutieve verklaring.
Ik geef toe dat dit op een vooroordeel mijnerzijds berustte, waarvoor mijn excuus.

Bij nader inzien moet ik concluderen dat het Lucas argument fout gaat, omdat de stelling "de rekenkundige waarheden die ik kan ontdekken vallen samen met de rekenkundige stellingen die binnen M bewijsbaar zijn" onjuist is.
Jouw conclusie is blijkbaar dezelfde als die van mij: je kunt in een formeel systeem correct geformuleerde stellingen ontdekken die niet bewijsbaar zijn, waarmee het Lucas argument verder geen betekenis heeft.

Al met al zegt dit ook niets over Turing's bewering "ik denk en ik ben een machine, dus machines kunnen denken", hoewel ik dezelfde mening ben toegedaan.
Niettemin sluit Gödel's stelling bepaald niet uit dat machines (creatief) kunnen denken en het is ook niet uit te sluiten dat mensen in wezen (prachtige) machines zijn die overigens niet per se met een formeel systeem hoeven samen te vallen, want dat zou gerichtheid van de evolutie veronderstellen.

Het is grappig dat volgens Turing machines ook in een God zouden kunnen geloven.

Groet,
Bert


Emanuel Rutten zei

Beste Bert,

Inderdaad. Ik beantwoordt die vraag op mijn laatste slide in een discussie altijd met 'nee', en leg dan uit waarom.

Groet,
Emanuel

Bert Morrien zei

Beste Emanuel,

Dat het Lucas argument faalt zal jou als dualist niet van de overtuiging afbrengen dat de mens méér dan een machine is en dat de geest een onstoffelijke component heeft, net als de eerste atomaire being.
Zoals ik eerder opmerkte, denk ik dat being(universum)=0 de meest logische toestand is, maar omdat het niet te ontkennen valt dat er minstens één atomaire being bestaat, kan een waarde van 0 geen stabiele toestand zijn.

Eerder vroeg ik mij af of de eerste atomaire being stoffelijk zou kunnen zijn en ik concludeerde dat die vraag irrelevant is, omdat er bij symmetriebreking niet iets materieels gecreëerd wordt, maar er alleen van een faseovergang sprake is waar wij de naam materie aan gegeven hebben. In feite slaat dat woord "materie" dus letterlijk op niets. De dichotomie tussen stoffelijkheid en onstoffelijkheid lijkt hiermee vals te zijn en daarmee ook de grondslag voor dualisme.

Overigens gaat het niet op de eerste atomaire being als God te beschouwen, omdat ik deze als het gevolg van een symmetriebreuk heb gedefinieerd, waarbij een splitsing optrad van being(universum)=0, zodat de eerste atomaire being niet als eerste oorzaak kan gelden.
Dat zou betekenen dat het instabiele NIETS van Krauss weer opduikt als eerste oorzaak. Die instabiliteit vormt het echte raadsel, de kwantumtheorie zegt slechts dat de waarschijnlijkheid van het bestaan van universum groter dan 0 is en dus noodzakelijkerwijs moet bestaan.
Je zou kunnen stellen dat God het nog niet bestaande universum is, maar dat maakt Zijn zaak er niet beter op.
Kortom, ik ontken niet dat er mogelijk een eerste atomaire being is geweest, maar die lijkt zelf ontstaan te zijn en kan dus niet als eerste oorzaak beschouwd worden.

Groet,
Bert

Bert Morrien zei

Beste Emanuel,

De being(.) functie is mooi te gebruiken om het plausibel te maken hoe materie samen met negatieve energie uit niets kan ontstaan.
Groet,
Bert

http://tasmedes.wordpress.com/2013/12/24/buitenaards-leven-en-nieuwe-ontwerpargumenten-mijn-opiniebijdrage-in-de-volkskrant/#comment-10607