Universal Negation

We all know about negation. We can apply it to numbers and propositions. When we negate a number we get a number. Except for the number 0 the negative of a number differs from the number itself. Negating 2 results in -2, negating -3 results in 3, and so on. In the case of propositions there are no exceptions. The negative of a propostion is always a proposition that differs from the original proposition. Take for example the proposition "The cat is on the mat". Negating it leads to the different proposition "It is not the case that the cat is on the mat". Can we also negate properties? Yes, this seems to be the case as well. And the result is also a property if we accept a rather broad account of properties. Take for example the property of being red. The negation of this property is the property of not being red. Sets (collections, classes) can be negated as well. Take the set of all women. When we negate this set we get the set of all things that are not a woman. Again, we get a set when we negate a set. Or take a state of affairs. The negation of it is another state of affairs, namely the state of affairs of the original state of affairs not obtaining.

So, numbers, propositions, properties, sets, and states of affairs can be negated. These observations lead to an interesting question. Are there more kinds that can be negated? Or for that matter, can everything be negated? Is negation maximally universal? Is the domain of negation wholly unrestricted? Is there a natural universal negation function N that maps every x onto its negative N(x)?

In the case of numbers, propositions, properties and sets, N maps items in the actual world to items in the actual world if we assume that numbers, propositions, properties and sets exist as abstract objects and that abstract objects are actual. Note that some properties might not have instances in the actual world or other possible worlds though. In the case of states of affairs N maps actual states to merely possible states and merely possible states to actual states. Merely possible states do not exist as abstract objects in the actual world. So the domain and range of N are not confined to what is actual (i.e., to what is part of the actual world).

It seems to me that N needs to adhere to at least the following nine conditions:

1. N(x) = -x for all numbers x,
2. N(x) = ~x for all propositions x,
3. N(x) = "the property of not having x" for all properties x,
4. N(x) = "the state of affairs of x not obtaining" for all states of affairs x,
5. N(x) = { y | y is not in x } for all sets x,
6. N(x) = "the function that maps y onto N(x(y))" for all functions x,
7. N(N(x)) = x for all x,
8. N(x) is of the same kind as x,
9. N(x)=N(y) if and only if x=y.

Let I(x)=x be the identity function. Then (7) can be written as N^2=I. Also, from (6) it follows that N(I) is a function that maps every x onto N(x). That is to say, N(I)(x)= N(x) for all x. Hence N(I)=N. And other entailments can be derived from (1)-(9) as well. It would be interesting to further explore this.

Now, suppose that there is indeed such a N. What's the result of applying N to itself? That is to say, what results when we negate negation itself? What is N(N)? Is it a being? If so, does this show how being could come from non-being? In any case it seems to me that a further reflection on universal negation might have interesting consequences for metaphysics.

So, what is N(N)? Well, from (7) it follows that N(N(N))=N. We also saw that N(I)=N. But then it follows that N(N(N))=N(I). From (9) it then follows that N(N)=I. Therefore we may conclude that when we apply universal negation onto itself we obtain the identity function I. Since N^2=I it also follows that N(N)=N^2.

The question remains whether there is an universal negation operator N at all. Let's explore this. Suppose there is an universal negator N. We have seen that N(I)=N. Here I is the identity function that maps every x to x. Functions are relations. I is the relation { (x,x) | for all x }. Relations are sets. So I is a set. But then according to (5) it follows that N(I) is { y | there is no x such that y = (x,x) }.

Given that N(I)=N it follows that N = { y | there is no x such that y = (x,x) }. No number can be written as a dupel (x,x) for some x. Hence N contains all numbers. But this is false since N = { (x,N(x)) | x } and thus N only contains dupels. We arrive at a contradiction. It follows that for there to be universal negation, functions are ontologically not to be considered relations or relations are ontologically not to be considered sets (or both). Those who are not willing to accept such ontological anti-reductionism have to accept that universal negation is metaphysically impossible.

Functions and relations cannot be reduced to sets if universal negation is to be possible. This has an impact on formal frameworks, ontologies and programming languages that want to reduce everything to sets.

Waarheid bij Wittgenstein

Wittgensteins afbeeldingstheorie gaat over de relatie tussen taal en wereld. Een uitspraak (beweerzin) is waar dan en slechts dan als ze een feit (stand van zaken) afbeeldt. We hebben het dan over wat ik hier aanduid als een feitelijke waarheid. Maar Wittgenstein introduceert niet voor niets naast het spreken ook nog de mentale modus van het tonen. Dat wat zich aan ons toont laat zich volgens hem niet in woorden uitdrukken. Het getoonde is er echter wel. Letterlijk ontegenzeggelijk zelfs. In en door het tonen worden wij geconfronteerd met een zijn dat niet minder werkelijk is dan het geheel van alle feiten. Volgens Wittgenstein is dat wat zich alleen kan tonen zelfs het belangrijkste. Het is dat waar het hem uiteindelijk echt om gaat. Hier stuiten we op het domein van wat ik niet-feitelijke waarheid noem. Wie wordt geconfronteerd met dat wat zich toont, ervaart fenomenologisch iets wat niet gezegd kan worden. Maar dat laat onverlet dat die ervaring adequaat is, waarachtig is, ja waar is. In en door het tonen, in en door het ervaren, is er sprake van een niet-feitelijke waarheid.

Niet-feitelijke waarheden (2)

Waarheid gaat over wat werkelijk is. De vraag is vervolgens wat er aan werkelijkheid tot iemand komt, of juist niet, waarvoor iemand gevoelig en ontvankelijk is, of juist niet. Dit verschilt per persoon. Maar dit betekent nog niet dat de waarheid per persoon verschilt.

Indien de werkelijkheid in objectieve zin naast uit configuraties van zijnden oftewel feiten eveneens bestaat uit het zijn zelf, en indien we fenomenologisch al dan niet adequaat oftewel waarachtig contact met dit zijn kunnen hebben, dan bestaat er naast de waarheid over de feiten oftewel feitelijke waarheid ook nog zoiets als de waarheid over het zijn zelf. Deze laatste vorm van waarheid zouden we dan niet-feitelijke waarheid kunnen noemen.

Wie de mogelijkheid van het bestaan van niet-feitelijke waarheden overweegt, houdt zich dus bezig met een bezinning op de aard van de werkelijkheid. Om niet-feitelijke waarheden in het vizier te krijgen richten we ons op de totaliteit van de werkelijkheid. Wij vragen naar de allesomvattende werkelijkheid in zijn geheel.

Niet-feitelijke waarheid gaat niet over de zijnden en hun onderlinge configuraties. Niet-feitelijke waarheid gaat over het zijn zelf. Het zijn is datgene op grond waarvan alle zijnden überhaupt zijnden zijn. Maar wat is precies dit zijn? Wat is het te zijn? Wat is de laatste grond en het wezen van alle zijnden en als zodanig zelf geen zijnde? Het is deze vraag die Heidegger zijn hele leven heeft beziggehouden. En het houdt Wittgenstein in de Tractatus eveneens bezig wanneer hij spreekt over het "mystieke" dat niet als een collectie van standen van zaken oftewel feiten te begrijpen is.

Vaak wordt tegengeworpen dat waarheid alleen betrekking heeft op ons in taal uitdrukbare contact met de werkelijkheid en dat we in taal alleen feiten kunnen uitdrukken. Een beweerzin kan alléén een configuratie van zijnden oftewel een stand van zaken weergeven en meer niet. Niet-feitelijke waarheid is dan onmogelijk. Dit lijkt mij echter onjuist. Stel voor de rest van dit betoog dat wij inderdaad in en door taal alleen feiten zouden kunnen uitdrukken. Betekent dit dan dat de waarheid hoe dan ook beperkt is tot feitelijke waarheid?

Geenszins. Wij kunnen namelijk ook niet-talig contact met de wereld hebben en net zoals in taal uitgedrukt contact kan niet-talig contact met de werkelijkheid in meer of mindere mate (in)adequaat en dus (on)waar zijn. Ook ons niet-talig contact met de werkelijkheid kan dus waarachtig of juist niet-waarachtig zijn. Wie fenomenologisch ervaart kan anders gezegd ook verkeerd ervaren. Dus reeds hier is de waarheidsvraag aan de orde, zelfs los van de vraag of de ervaring in kwestie al dan niet in taal kan worden gerepresenteerd. Maar dan heeft waarheid als begrip ook betekenis voor ons niet-talige contact met de werkelijkheid.

Veel van dat niet-talige contact kan niet in taal worden weergegeven omdat we hier veelal in contact staan met iets dat niet gereduceerd kan worden tot feiten en dus niet in taal kan worden uitgedrukt. Maar dat maakt datgene wat we ervaren niet minder werkelijk. En indien de fenomenologische ervaring ervan adequaat overeenstemt met de werkelijkheid, dan kunnen we de desbetreffende ervaring dus waar en meer precies niet-feitelijk waar noemen. Het is een niet-feitelijke waarheid omdat wat we ervaren een niet-feitelijk deel of aspect van de werkelijkheid betreft. Wat hier als waar wordt aangemerkt, is dus de niet in taal representeerbare fenomenologische ervaring van de werkelijkheid. Deze niet in taal uitdrukbare ervaring is waar. En het is niet-feitelijk waar omdat de waarheidsmaker ervan een niet-feitelijk deel of aspect van de werkelijkheid is.

Is dit een wending naar het subjectiveren van de waarheid? Nee, ook dit is niet het geval. Iets kan niet bestaan uit configuraties van zijnden oftewel feiten en toch in objectieve zin behoren tot de werkelijkheid indien de werkelijkheid in objectieve zin meer omvat dan alleen feiten. Waar we hier dus op wijzen is een objectief deel of aspect van de werkelijkheid dat niet tot configuraties van zijnden oftewel feiten gereduceerd kan worden en op onze niet-talige objectieve fenomenologische ervaring ervan. Kortom, een objectief niet-talig contact dat net zoals een beweerzin objectief waar of onwaar kan zijn. Met postmoderne subjectivering heeft dit alles dan ook niets te maken.

Wie meent dat niet-feitelijke waarheid onmogelijk is, versmalt ten onrechte de sfeer van het geestelijk-receptieve en dus het domein van het al dan niet hebben van waarachtig contact met de werkelijkheid tot slechts vormen van contact die teruggaan op in beweerzinnen uitdrukbare feiten. Zo wordt de werkelijkheid en de waarheid daarover ontoelaatbaar versmald tot de zijnden en hun onderlinge configuraties. Wat uit beeld raakt is het zijn zelf en daarmee het geheel van de werkelijkheid.

Letter en geest

Wat te zeggen over de auteur van deze tekst? Door de letters van de tekst heen schittert zijn ziel welke die van de wijsbegeerte en het zijn zelf is. Alle grote denkers denken uiteindelijk hetzelfde. Want elk groot denken resoneert met het zijn en het zijn is één.