woensdag 22 juni 2016

Een afleiding van de wet van de niet-tegenspraak

De logische wet van de niet-tegenspraak stelt dat iets niet op hetzelfde moment een bepaalde eigenschap wel en niet kan bezitten. Men denkt vaak dat deze wet zó fundamenteel is, dat ze op geen enkele wijze uit meer fundamentelere logische principes kan worden afgeleid. Dit is echter niet het geval, zoals George Boole in zijn An Investigation of the Laws of Thought uit 1854 heeft laten zien. Neem een willekeurige eigenschap en laat A de klasse van alle dingen zijn die deze eigenschap hebben. Schrijf XY voor de klasse die ontstaat wanneer wij uit alle dingen die eigenschap Y hebben alleen die dingen nemen die ook eigenschap X hebben. Laat 0 de klasse zijn die geen dingen bevat en laat 1 de klasse zijn die alle dingen bevat. Laat verder X - Y de klasse zijn die verkregen wordt door uit klasse X alle dingen uit klasse Y weg te halen. Nu geldt A = AA. Hieruit volgt A - A = A - AA oftewel 0 = A - AA. Dit kunnen we schrijven als 0 = A1 - AA. Nu geldt eveneens XY - XZ = X(Y-Z) voor alle klassen X, Y en Z waarbij Z een deel is van Y. Maar dan volgt 0 = A(1-A). Dit wil zeggen dat wij niets overhouden wanneer wij uit de klasse van dingen die eigenschap A niet hebben die dingen weghalen die eigenschap A wel hebben. Maar dat is precies wat de wet van de niet-tegenspraak stelt. Deze logische wet volgt dus inderdaad uit logische principes die nog fundamenteler zijn dan deze wet zelf.

10 opmerkingen:

Bert Morrien zei

Emanuel,

Je schrijft "Maar dan volgt 0 = A(1-A). Dit wil zeggen dat wij niets overhouden wanneer wij uit de klasse van dingen die eigenschap A niet hebben die dingen weghalen die eigenschap A wel hebben."
Dat is verrassend, maar het lijkt mij dat je dit bijvoorbeeld niet in een venn-diagram kunt weergeven. Je doet hier iets onmogelijks, ofwel wat je doet lijkt mij niet geoorloofd.
Je kunt geen water halen uit een lege fles. Daarom kun je niet demonstreren dat je niets overhoudt als je dat toch zou doen. Ik daag je uit die lege fles weg te krijgen door er water uit te halen.
Aan de andere kant, als je een lege fles definieert als de inhoud van het begrip "lege fles", dan zou met het verwijderen van die "inhoud" de "lege fles" eveneens verdwijnen. Inderdaad, begrippen lijken veranderlijk, maar de realiteit gaat ons begrip te boven, die is immers wat die is.

Herman zei

Beste Emanuel,

..."wanneer wij uit de klasse van dingen die eigenschap A niet hebben die dingen weghalen die eigenschap A wel hebben".
Er zullen er maar weinigen zijn die dat kunnen. Hans Klok kan het overigens wel maar je kunt niet zeggen dat hij er niets aan overhoudt.

vriendelijke groet,
Herman

Emanuel Rutten zei

Beste Bert en Herman,

Wat daar bedoeld wordt is dat we de lege klasse verkrijgen wanneer we eerst alle objecten selecteren die eigenschap A niet hebben en vervolgens daaruit alle objecten selecteren die eigenschap A wel hebben.

Groet,
Emanuel

Bert Morrien zei

Emanuel,

Dit lijkt mij dermate triviaal dat het mij ontgaat waarom je meent dit te moeten afleiden.

Emanuel Rutten zei

Bert,

De wet van de niet-tegenspraak gaat volgens Boole terug op nog fundamentelere wetten van ons denken, namelijk wetten met betrekking tot het selecteren en combineren van concepten. Dat is het punt van mijn bijdrage, zoals ik schreef.

Groet,
Emanuel

Herman zei

Beste Emanuel,

"Wat daar bedoeld wordt is dat we de lege klasse verkrijgen wanneer we eerst alle objecten selecteren die eigenschap A niet hebben en vervolgens daaruit alle objecten selecteren die eigenschap A wel hebben".

Ik heb het thuis eens uitgeprobeerd. Ja, je moet wat doen. Maar het lijkt mij toch wel erg moeilijk, zo moeilijk zelfs dat ik mij afvraag of het überhaupt wel mogelijk is.
Ik deed alle legostukjes van de kleinkinderen in een grote doos, behalve de rode.
Er zat dus geen enkel rood stukje in de doos. Daarna heb ik uren lang geprobeerd om er de rode stukjes uit te vissen, in de veronderstelling dat de doos ineens leeg zou moeten zijn als dat zou lukken; echter zonder resultaat. Als jij denkt dat het toch kan dan zie ik maar één verklaring: ik ben blijkbaar kleurenblind.

vriendelijke groet,
Herman

Emanuel Rutten zei

Beste Herman,

Er zaten toch geen rode legostenen meer in? Je had dus snel klaar moeten zijn met het daaruit selecteren van rode stenen. Die selectie levert immers niets op omdat er geen rode stenen meer inzaten. Kortom, die selectie had je niets opgeleverd. Door niets te selecteren had je de lege klasse verkregen.

Laat me het voordoen. Stel dat dit aanvankelijk de stenen zijn: S R T R D G Y R. Nu selecteren we hieruit alle stenen die niet rood zijn. We krijgen dan: S T D G Y. Vervolgens selecteren we hieruit alle stenen die rood zijn. We krijgen dan: niets! En zo houden we dus de lege klasse over.

Groet,
Emanuel

Herman zei

Beste Emanuel,

Ik wil je goed begrijpen, want het is een nogal weerbarstige materie.
Ik heb om de zaak te vereenvoudigen 4 legostenen, twee rode en twee witte, in een doos gedaan.

Eerst selecteerde ik daaruit de stenen die niet rood zijn, namelijk de twee witte.
Vervolgens constateerde ik, dat was op zich niet zo moeilijk, dat de twee rode stenen in de doos bleven. Ik heb het mijn vrouw laten zien en zij kon niet anders dan dit bevestigen. Vervolgens haalde ik de twee rode stenen uit de doos en jawel hoor, de doos was leeg. "Ik heb de lege klasse" riep ik triomfantelijk uit. Maar niet te vroeg juichen, want het moet herhaalbaar zijn. En het wás herhaalbaar, want ik heb het meerdere keren uitgeprobeerd, onderwijl stiekem luisterend naar een paar verontruste telefoontjes die mijn vrouw pleegde met haar zus en de huisarts.
"Laat haar maar kletsen" dacht ik, "want wat weet zij tenslotte van logica".

Kijk , als je dit bedoelt, wat ik meerdere keren met succes heb uitgeprobeerd, dan volg ik je.
Maar "uit de klasse van dingen die eigenschap A niet hebben die dingen selecteren die eigenschap A wel hebben", dus uit de klasse van de twee witte stenen de twee rode stenen selecteren dat is mij nog niet gelukt. Dat zou je mij eens moeten voordoen, tenminste als je die truc wilt prijsgeven.
vriendelijke groet,
Herman

Emanuel Rutten zei

Beste Herman,

Wie zegt dat je twee rode stenen moet selecteren? Dat is natuurlijk onzin. De opdracht is om alle rode stenen uit die klasse van witte stenen te selecteren. En precies omdat er in die klasse van witte stenen géén rode stenen zitten, selecteer je dus precies nul stenen wanneer je 'rode steen' als selectiecriterium gebruikt. Je hebt dan dus nul stenen geselecteerd. Kortom, je hebt de lege klasse verkregen.

Groet,
Emanuel

Herman zei

Beste Emanuel,
Bedankt voor je geduldige uitleg.
Ik denk dat ik je nu begrijp; als je niets kunt selecteren uit een aantal objecten dan heb je niets in handen; je hebt dan een lege klasse. Ik vertelde het aan mijn vrouw: "Als je ergens niets vandaan haalt dan heb je ook niets", maar zij luistert
al niet meer, want zij is bezig een opname te regelen en daar gaat zij onverdroten mee door, hoezeer ik haar ook bezweer de doos met legostenen niet meer aan te raken. Laat haar maar doen wat zij denkt te moeten doen, ik ben er in ieder geval uit, dank zij jou.
vriendelijke groet,
Herman