vrijdag 9 oktober 2009

De leugenaarsparadox

De leugenaarsparadox is één van de meest bekende paradoxen uit de geschiedenis van de filosofie. De paradox ontstaat zodra wij ons afvragen of de zin “Deze zin is niet waar” waar of onwaar is. Indien zij waar is, is zij niet waar en wanneer zij onwaar is, dan is zij waar. De paradox steunt op de wet van de uitgesloten derde. Volgens deze wet is iedere grammaticaal welgevormde beweerzin waar of onwaar. Indien een bewering niet waar is, dan is zij onwaar en andersom is een bewering waar indien zij niet onwaar is. Een derde mogelijkheid bestaat er volgens de wet van de uitgesloten derde niet.

Een vrij eenvoudige oplossing voor de leugenaarparadox is dan ook het verwerpen van de wet van de uitgesloten derde. Er wordt niet langer geëist dat welgevormde beweerzinnen een waarheidswaarde hebben. Bepaalde beweringen kunnen dus noch waar, noch onwaar zijn. Op deze manier verdwijnt de leugenaarsparadox inderdaad. De aanname dat de zin “Deze zin is niet waar” waar is leidt weliswaar nog steeds tot een tegenspraak. Hetzelfde geldt voor de aanname dat de zin onwaar is. Hieruit volgt dat de zin niet waar en ook niet onwaar is. Dit is nu echter geen paradox meer omdat door het verwerpen van de wet van de uitgesloten derde niet langer geëist wordt dat zinnen een waarheidswaarde hebben. De zin “Deze zin is niet waar” is dan een voorbeeld van een zin zonder waarheidswaarde.

Toch is deze oplossing van de leugenaarsparadox niet echt bevredigend. Volgens velen is de wet van de uitgesloten derde dermate plausibel ofwel evident dat we haar niet zomaar zouden mogen opgeven om de leugenaarsparadox te voorkomen. Het opgeven van onze meest vertrouwde overtuigingen doen we niet zomaar. Dit overwegen we alleen als daar zeer goede redenen voor zijn. We zullen hier een argument presenteren om de wet van de uitgesloten derde inderdaad te verwerpen. Dit doen we door een intuïtief aannemelijke eigenschap van waarheid te benoemen die in strijd is met de wet van de uitgesloten derde.

Deze eigenschap betreft het feit dat we geen waarheid kunnen produceren indien we geen waarheid tot onze beschikking hebben. Net zoals we onmogelijk materiële voorwerpen kunnen produceren wanneer we geen materie tot onze beschikking hebben, kunnen we ook geen waarheid produceren indien we geen waarheden tot onze beschikking hebben. We kunnen alleen maar een waarheidswaarde aan een zin toekennen indien we deze zin op logische wijze kunnen herleiden tot één of meer zinnen met een waarheidswaarde. Zo kan de samengestelde beweerzin “Die stoel is groen of wit” logisch herleid worden tot de zinnetjes “Die stoel is groen” en “Die stoel is wit”. De waarheidswaarde van de samengestelde zin “Die stoel is groen of wit” volgt dan direct uit de waarheidswaarden van beide zinnetjes. Indien de stoel bijvoorbeeld groen is, dan is het zinnetje “Die stoel is groen” en daarmee ook de samengestelde zin waar. Zinnen die niet logisch herleidbaar zijn tot zinnen met een waarheidswaarde hebben echter geen waarheidswaarde. Creatio ex nihilio is immers niet alleen ondenkbaar in de wereld van de materiële voorwerpen, maar ook in de wereld van aan zinnen toekomende waarheidswaarden. De wet van de uitgesloten derde gaat daarom niet op. Sommige zinnen zijn noch waar, noch onwaar.

Het hierboven beschreven argument om de wet van de uitgesloten derde te verwerpen en zo de leugenaarsparadox op te lossen lijkt inderdaad zeer adequaat. Deze oplossing komt sterk overeen met de door Zermelo gegeven oplossing van de Russell paradox. Zermelo’s oplossing bestond namelijk uit de constatering dat we geen verzamelingen uit het niets kunnen produceren zoals in de Russell paradox feitelijk gebeurt. We kunnen uitsluitend verzamelingen produceren vanuit één of meerdere beschikbare verzamelingen. Ook in de abstracte verzamelingenleer is creatio ex nihilio ofwel schepping uit het niets onmogelijk.

Er zit echter een addertje onder het gras. De paradox lijkt weliswaar opgelost, maar is dat feitelijk nog niet! We hebben immers geconcludeerd dat de zin “Deze zin is niet waar” geen waarheidswaarde heeft. De zin is dus niet waar. Dit is echter precies hetgeen de zin over zichzelf zegt. De zin zegt immers over zichzelf dat zij niet waar is. Hetgeen door de zin beweerd wordt is dus volkomen correct. Maar hieruit volgt dat de zin waar is. De zin zegt echter dat zij niet waar is. Als dit inderdaad waar is, dan is de zin dus niet waar. We stuiten zo alsnog op een nare tegenspraak. De oplossing van de leugenaarsparadox dient daarom niet gezocht te worden in het verwerpen van de wet van de uitgesloten derde op basis van het argument dat we onmogelijk iets uit niets kunnen scheppen. Het argument van Zermelo dat de verzamelingenleer bevrijdde van de verstikkende wurggreep van de Russell paradox is dus niet geschikt om de logica te bevrijden van de leugenaarsparadox.

De oplossing voor de leugenaarsparadox die tegenwoordig breed geaccepteerd wordt is het door Tarski gemaakte onderscheid tussen object- en metataal. We zouden uitsluitend vanuit een aparte metataal mogen spreken over de waarheid of onwaarheid van zinnen uit een gegeven objecttaal. De leugenaarszin “Deze zin is niet waar” is vanuit dit perspectief een vermenging van object- en metataal en precies daarom niet toegelaten. Zo verdwijnt inderdaad de leugenaarsparadox. We kunnen ons echter afvragen of Tarski’s oplossing bevredigend is. Komt zijn oplossing niet neer op een bruut ad hoc verbod dat louter is bedoeld om de leugenaarsparadox onschadelijk te maken? Zijn er overtuigende van deze paradox onafhankelijke argumenten om een strikt onderscheid te maken tussen object- en metataal en het spreken over waarheid op objectniveau te verbieden? Dit is zeer de vraag.

11 opmerkingen:

Judas Stropdas zei

Je schrijft: We hebben immers geconcludeerd dat de zin “Deze zin is niet waar” geen waarheidswaarde heeft. De zin is dus niet waar.

Geen waarheidswaarde hebben is niet hetzelfde als niet waar zijn.

G.J.E. Rutten zei

Beste J.S.,

Bedankt voor je reactie. Geen waarheidswaarde hebben is inderdaad niet hetzelfde als niet waar zijn. Een onware zin is immers niet waar, maar heeft weldegelijk een waarheidswaarde.

Ik beweer in mijn bijdrage echter nergens dat geen waarheidswaarde hebben hetzelfde is als niet waar zijn. In het door jou aangehaalde fragment beweer ik slechts dat uit het feit dat een zin geen waarheidswaarde heeft volgt dat de zin niet waar is. Dit is evident juist. Merk hierbij wel op dat 'niet waar zijn' niet hetzelfde is als 'onwaar zijn'.

Groet, G.J.E. Rutten

Thiago ''Mr BroodjeBeef'' Eekie zei

De zin ''De zin is niet waar''.
De zin zegt: de zin is niet waar. De zin die zegt dat iets niet waar is, hoeft het dan toch niet over zichzelf te hebben? Hij/Zij/Het kan het toch ook hebben over een andere zin. Die dan onwaar is. En als u dan concludeert dat hij onwaar is, dan het de zin toch gelijk dat die andere betreffende zin niet waar is.

Groeten, een geinteresseerd persoon

G.J.E. Rutten zei

Beste Thiago, de leugenaarsparadox betreft de uitspraak: "Deze zin is niet waar" en niet "De zin is niet waar". Welnu, de zin "Deze zin is niet waar" zegt weldegelijk over zichzelf dat zij niet waar is! Groet, G.J.E. Rutten

brord zei

In het voorbeeld "Deze zin in niet waar" doet zich zelf-referentie voor. Met vele voorbeelden is aan te geven dat een gevaarlijke vorm van "Logica" haar intrede doet.
De samenstelling van twee waarheden kan zoals eerder in het artikel aangehaald, een nieuwe waarheid opleveren:
a) Deze zin heeft vijf woorden.
b) Regen is nat.
a+b) Deze zin heeft vijf woorden en regen is nat.
Ook hier gooit zelf-referentie roet in het eten: de zelf-referentie had betrekking op de eerste zin van vijf woorden, en dient dus her-onderzocht te worden bij een nieuwe zin. Dit kan niet op object-nivo, en moet in meta-nivo gebeuren. Zelf-referentie en scheiding van nivo's bieden de oplossingen uit de leugenaars-paradox

SadBunny zei

Dacht ik toch hier een interessantwoord te vinden op een vraag die mij zojuist in mijn hoofd schoot ("wat is de waarheidswaarde van een paradox"), maar kom ik toch bedrogen uit met deze pagina :)

Van mezelf kwam ik van tevoren ook op de "undefined"-oplossing uit, die mij helemaal niet zo zwak lijkt trouwens. Zowel waar als onwaar kunnen niet bewezen worden, ergo, onbepaald. Een sterker argument voor het toelaten van de uitgesloten derde (voor mijn part de "maybe bit") lijkt mij nauwelijks denkbaar.

Ondanks dat zegt mijn onderbuik dat de waarheidswaarde van een paradox altijd onwaar moet zijn als je de derde uitgesloten laat, maar dat kan ik totaal niet beargumenteren.

tino zei

Hallo,

"De paradox ontstaat zodra wij ons afvragen of de zin “Deze zin is niet waar” waar of onwaar is. Indien zij waar is, is zij niet waar en wanneer zij onwaar is, dan is zij waar."

De paradox ligt hem volgens mij in het feit dat deze zin op één en hetzelfde moment één waarheidswaarde moet bezitten, zijnde waar of onwaar. En deze waarheidswaarde moet stabiel zijn (om er ons goed bij te voelen).
Wat als we de evaluatie over deze zin bekijken als een proces. De waarde voor en na het proces als intermediaire waarden.
Dan wordt voor een "gewone" zin het proces: (evalueer zin)->(bvb waar)->(evalueer zin nogmaals met vorige resultaat in gedachten)-(weer waar) ...etc
Wat verkort kan weegegeven worden als: (evalueer zin)->(waar), aangezien het resultaat stabiel is.
Voor de paradox wordt het dan:
(evalueer zin)->(waar)->(evalueer zin nogmaals met vorige resultaat in gedachten)-(on waar) ...etc
In programmeertalen kan je perfect zeggen a=niet(a), wat mijns inziens overeenstemt met de paradox. a=niet(a) is eveneens onzinnig in onze gewone taal (paradox) maar in computertaal wordt de nieuwe waarde van a pas na een evaluatie tijd aan a toegekend, wat wij in bovenstaande paradox eigenlijk doen met ons denkproces.
Wat we normaal doen is de zin evalueren en dan nogmaals evalueren, maar aangezien het resultaat stabiel is stoppen we met het mentale evaluatie proces. De paradox blijft ons denkproces als het ware in beweging zetten.

De paradox blijft uiteraard, maar is mijns inziens een effect van de sequentiele aard van taal (en dus denkprocessen) en de binaire aard van het resultaat (waar - onwaar).

In de electronica noemt men dit dan een oscillator.

Groet,
Tino

Emanuel Rutten zei

Beste Tino,

Hoewel de analogie niet helemaal opgaat en ik bovendien nog wel een aantal problemen zie, vind ik jouw voorstel om logica temporeel te benaderen creatief!

Groet,
Emanuel

tino zei

Beste Emanuel,
Bedankt voor je reactie. Waar vind je dat de analogie mank loopt?
Groet,
Tino

Emanuel Rutten zei

Beste Tino,

Een computer heeft een praktisch en geen epistemisch oogmerk. Het gaat om het bewerken van input volgens vaste regels, en niet om de vraag of wat bewerkt wordt de wereld adequaat representeert (waar is).

Groet,
Emanuel

tino zei

Beste Emanuel,
Ik volg u, een computer denkt trouwens niet.
Wat ik enkel wou aantonen was dat volgens mij de evaluatie van die bewuste zin, het denkproces dus, dat wat ons die kennis verschaft, ons in dit geval nooit bevredigt en van nature sequentieel is. We lopen hier tegen de grens van het adequaat representeren van de wereld, met behulp van het gebruikte kennissysteem (taal dus). Volgens mij zegt u toch zelf in uw post dat de paradox pas ontstaat wanneer we ons afvragen of de zin waar is of niet, waarna een sequentieel denkproces aanvangt. Het verwerpen van de wet van de uitgesloten derde en Tarski's methode om de paradox op te lossen zijn zoals u al argumenteerde niet echt bevredigend. Misschien moet men de paradox gewoon accepteren als effect van de gebruikte representatiesysteem en onze natuurlijke temporele evaluatiemethode. Ik heb hier uiteraard geen harde bewijzen voor, alleen had ik die optie nog niet gezien. Maar misschien trap ik hier een open deur in of sla ik de bal mis.
Groet,
Tino