De leugenaarsparadox

De leugenaarsparadox is één van de meest bekende paradoxen uit de geschiedenis van de filosofie. De paradox ontstaat zodra wij ons afvragen of de zin “Deze zin is niet waar” waar of onwaar is. Indien zij waar is, is zij niet waar en wanneer zij onwaar is, dan is zij waar. De paradox steunt op de wet van de uitgesloten derde. Volgens deze wet is iedere grammaticaal welgevormde beweerzin waar of onwaar. Indien een bewering niet waar is, dan is zij onwaar en andersom is een bewering waar indien zij niet onwaar is. Een derde mogelijkheid bestaat er volgens de wet van de uitgesloten derde niet.

Een vrij eenvoudige oplossing voor de leugenaarparadox is dan ook het verwerpen van de wet van de uitgesloten derde. Er wordt niet langer geëist dat welgevormde beweerzinnen een waarheidswaarde hebben. Bepaalde beweringen kunnen dus noch waar, noch onwaar zijn. Op deze manier verdwijnt de leugenaarsparadox inderdaad. De aanname dat de zin “Deze zin is niet waar” waar is leidt weliswaar nog steeds tot een tegenspraak. Hetzelfde geldt voor de aanname dat de zin onwaar is. Hieruit volgt dat de zin niet waar en ook niet onwaar is. Dit is nu echter geen paradox meer omdat door het verwerpen van de wet van de uitgesloten derde niet langer geëist wordt dat zinnen een waarheidswaarde hebben. De zin “Deze zin is niet waar” is dan een voorbeeld van een zin zonder waarheidswaarde.

Toch is deze oplossing van de leugenaarsparadox niet echt bevredigend. Volgens velen is de wet van de uitgesloten derde dermate plausibel ofwel evident dat we haar niet zomaar zouden mogen opgeven om de leugenaarsparadox te voorkomen. Het opgeven van onze meest vertrouwde overtuigingen doen we niet zomaar. Dit overwegen we alleen als daar zeer goede redenen voor zijn. We zullen hier een argument presenteren om de wet van de uitgesloten derde inderdaad te verwerpen. Dit doen we door een intuïtief aannemelijke eigenschap van waarheid te benoemen die in strijd is met de wet van de uitgesloten derde.

Deze eigenschap betreft het feit dat we geen waarheid kunnen produceren indien we geen waarheid tot onze beschikking hebben. Net zoals we onmogelijk materiële voorwerpen kunnen produceren wanneer we geen materie tot onze beschikking hebben, kunnen we ook geen waarheid produceren indien we geen waarheden tot onze beschikking hebben. We kunnen alleen maar een waarheidswaarde aan een zin toekennen indien we deze zin op logische wijze kunnen herleiden tot één of meer zinnen met een waarheidswaarde. Zo kan de samengestelde beweerzin “Die stoel is groen of wit” logisch herleid worden tot de zinnetjes “Die stoel is groen” en “Die stoel is wit”. De waarheidswaarde van de samengestelde zin “Die stoel is groen of wit” volgt dan direct uit de waarheidswaarden van beide zinnetjes. Indien de stoel bijvoorbeeld groen is, dan is het zinnetje “Die stoel is groen” en daarmee ook de samengestelde zin waar. Zinnen die niet logisch herleidbaar zijn tot zinnen met een waarheidswaarde hebben echter geen waarheidswaarde. Creatio ex nihilio is immers niet alleen ondenkbaar in de wereld van de materiële voorwerpen, maar ook in de wereld van aan zinnen toekomende waarheidswaarden. De wet van de uitgesloten derde gaat daarom niet op. Sommige zinnen zijn noch waar, noch onwaar.

Het hierboven beschreven argument om de wet van de uitgesloten derde te verwerpen en zo de leugenaarsparadox op te lossen lijkt inderdaad zeer adequaat. Deze oplossing komt sterk overeen met de door Zermelo gegeven oplossing van de Russell paradox. Zermelo’s oplossing bestond namelijk uit de constatering dat we geen verzamelingen uit het niets kunnen produceren zoals in de Russell paradox feitelijk gebeurt. We kunnen uitsluitend verzamelingen produceren vanuit één of meerdere beschikbare verzamelingen. Ook in de abstracte verzamelingenleer is creatio ex nihilio ofwel schepping uit het niets onmogelijk.

Er zit echter een addertje onder het gras. De paradox lijkt weliswaar opgelost, maar is dat feitelijk nog niet! We hebben immers geconcludeerd dat de zin “Deze zin is niet waar” geen waarheidswaarde heeft. De zin is dus niet waar. Dit is echter precies hetgeen de zin over zichzelf zegt. De zin zegt immers over zichzelf dat zij niet waar is. Hetgeen door de zin beweerd wordt is dus volkomen correct. Maar hieruit volgt dat de zin waar is. De zin zegt echter dat zij niet waar is. Als dit inderdaad waar is, dan is de zin dus niet waar. We stuiten zo alsnog op een nare tegenspraak. De oplossing van de leugenaarsparadox dient daarom niet gezocht te worden in het verwerpen van de wet van de uitgesloten derde op basis van het argument dat we onmogelijk iets uit niets kunnen scheppen. Het argument van Zermelo dat de verzamelingenleer bevrijdde van de verstikkende wurggreep van de Russell paradox is dus niet geschikt om de logica te bevrijden van de leugenaarsparadox.

De oplossing voor de leugenaarsparadox die tegenwoordig breed geaccepteerd wordt is het door Tarski gemaakte onderscheid tussen object- en metataal. We zouden uitsluitend vanuit een aparte metataal mogen spreken over de waarheid of onwaarheid van zinnen uit een gegeven objecttaal. De leugenaarszin “Deze zin is niet waar” is vanuit dit perspectief een vermenging van object- en metataal en precies daarom niet toegelaten. Zo verdwijnt inderdaad de leugenaarsparadox. We kunnen ons echter afvragen of Tarski’s oplossing bevredigend is. Komt zijn oplossing niet neer op een bruut ad hoc verbod dat louter is bedoeld om de leugenaarsparadox onschadelijk te maken? Zijn er overtuigende van deze paradox onafhankelijke argumenten om een strikt onderscheid te maken tussen object- en metataal en het spreken over waarheid op objectniveau te verbieden? Dit is zeer de vraag.