A new argument against mathematical Platonism

Ex nihilo nihil fit or from nothing nothing comes (Aristotle-Aquinas). Each truth having an ontological footprint must thus have a sufficient explanation. There are no brute facts in reality. Now, beyond a certain complexity threshold, mathematical truths aren’t provable (Gödel-Chaitin). But then it follows that mathematical truths have no ontological import. It's therefore not true that there exist mathematical abstract objects, so that we arrive at a new argument against mathematical Platonism.

VU zomercursus: Geschiedenis van de filosofie

Volgende week start wederom de zomercursus Geschiedenis van de filosofie voor de tweejarige master Filosofie van Cultuur en Bestuur aan de Vrije Universiteit in Amsterdam. Ook dit jaar zal ik daarbinnen colleges geven over Avicenna, Aristoteles, Anselmus, Aquino, Scotus, Descartes, Frege, Russell, (de vroege) Wittgenstein en Gödel. Dit jaar hanteer ik onderstaande literatuurlijst. De audio-opnamen van twee jaar geleden zijn eveneens toegevoegd.

8 juni Aristotelische en middeleeuwse metafysica [audio1, audio2]

1. Over het hylemorfisme van Aristoteles
2. De metafysica van Aristoteles (fragmenten VI-VIII en IX-XII)
3. Over de zoektocht naar de eerste beginselen
4. Het ontologisch argument vanaf Anselmus
5. Nogmaals Anselmus
6. Alsnog Anselmus
7. Alweer Anselmus?

10 juni Het Cartesiaanse wereldbeeld [audio1, audio2]

8. Over de Cartesiaanse natuurwetenschap
9. Cartesiaanse meditaties

24 juni Ontstaan van de analytische wijsbegeerte [audio1, audio2]

10. De kleine Logicomix
11. Wittgensteins Tractatus
12. Wittgensteins enkelvoudige voorwerpen (sectie 4 niet)
13. Schakels of touwtjes?
14. De syllogismeleer van Aristoteles
15. De logica van Boole
16. De logica van Frege
17. Cantors verzamelingenleer
18. Russells paradox

Bijdrage RD zaterdag 18 februari: Wel goede argumenten, geen bewijs

In 2013 hebben de computerwetenschappers C. Benzmüller van de Vrije Universiteit Berlijn en B. W. Paleo van de Technische Universiteit Wenen laten zien dat het ”wiskundig bewijs” voor het bestaan van God van de logicus Kurt Gödel correct is. Betekent dit nu ook dat het bestaan van God bewezen is en we dus zeker weten dat Hij bestaat?

JA
Het godsbewijs van de Oostenrijkse logicus Kurt Gödel (1906-1978) is een vorm van het zogeheten ontologische godsbewijs. Deze redenering om het bestaan van God aan te tonen gaat terug op de middeleeuwse theoloog Anselmus van Canterbury. Hij definieerde God als „datgene waarboven niets groter gedacht kan worden.” Als het volmaaktst denkbare wezen moet God noodzakelijk bestaan, zo was zijn conclusie.
Ontologische argumenten beginnen vanuit ons zuivere denken en doen geen enkel beroep op zintuiglijke ervaringen. Vanuit een definitie van God wordt vervolgens door strikt logische redeneerstappen aangetoond dat God bestaat. Gödels godsbewijs is een moderne variant van de redenering van Anselmus. De conclusie van zijn versie luidt dat er een wezen bestaat dat alle positieve eigenschappen bezit, zoals almacht, algoedheid, alwetendheid enzovoort. Dit noodzakelijk bestaand volmaakte wezen is de grond van de wereld.
De informatici Benzmüller en Paleo hebben laten zien dat Gödels afleiding van de conclusie uit zijn uitgangspunten of premissen logisch geldig is. Ze hebben met hun speciale software aangetoond dat Gödels conclusie netjes kan worden afgeleid uit zijn premissen. Gödels afleiding is logisch correct. Zijn conclusie dat God bestaat volgt onverbiddelijk uit de door hem gehanteerde aannames. Dit is ook niet zo verwonderlijk wanneer we ons realiseren dat Gödel na Aristoteles de grootste logicus ooit is. Wie de premissen van Gödels afleiding accepteert, heeft geen keus en moet ook zijn conclusie accepteren dat God bestaat.

NEE
Maar dienen wij deze premissen ook te aanvaarden? Hoe zeker zijn we eigenlijk van de waarheid ervan? Welnu, daar doen Benzmüller en Paleo géén uitspraak over. Die premissen zijn namelijk niet van logische of wiskundige aard. Het gaat om aannames over de fundamentele structuur van de werkelijkheid, die niet met een computer gecontroleerd kunnen worden. Zolang niet met zekerheid is vastgesteld dat de premissen waar zijn, is van een dwingend bewijs voor het bestaan van God dus geen sprake.
Dit alles is geen probleem indien Gödels premissen volstrekt zelfevident zijn. In dat geval kunnen we niet anders dan ze aanvaarden en hebben we inderdaad een bewijs voor het bestaan van God. Het probleem is echter dat Gödels premissen zeker niet zelfevident zijn. In de filosofie bestaat er veel discussie over. Zo is niet helemaal duidelijk wat nu precies in Gödels premissen onder een ”positieve eigenschap” verstaan moet worden. De premissen zijn dan ook hoogstens plausibel en maken daarom de conclusie dat God bestaat ook hoogstens plausibel. Of bescheidener: ze verhogen slechts de plausibiliteit van het bestaan van God.
Bovendien dienen we direct de vraag te stellen om welke God het hier gaat. Gaat het om de God van het christendom of om de God van een van de andere monotheïstische tradities? Om vervolgens ook nog te beargumenteren dat dit noodzakelijk bestaande perfect wezen dat de grond is van de wereld in feite de God is waarvan het christendom als sinds eeuwen getuigt, is aanvullende argumentatie nodig. Gödels afleiding helpt ons hier echt niet verder.
Dat Gödels ”godsbewijs” geen bewijs is, hoeft ons overigens zeker niet te verbazen. Het bestaan van God kan namelijk niet bewezen worden. Niet voor niets wordt een godsbewijs in het Engels een ”argument” genoemd. Dat is wat we wel kunnen doen: argumenten geven voor Zijn bestaan. Deze argumenten laten zien dat het alleszins redelijk is om te denken dat God bestaat. Ze maken het bestaan van God plausibel.
Sterker nog, al deze argumenten samen laten zien dat theïsme de meest redelijke positie is. Maar absolute en onfeilbare zekerheid? Nee, dat kunnen dergelijke argumenten niet geven. Het gaat niet om bewijzen, maar om het inzichtelijk maken van de redelijkheid van geloof in God. Het christelijk geloof brengt zekerheid met zich mee, maar die is van een andere orde dan de zekerheid van een rationele bewijsvoering. Redelijke argumenten kunnen deze zekerheid wel ondersteunen.

DUS
Naast de ontologische argumenten voor het bestaan van God, zijn er nog vele andere, zoals kosmologische, teleologische, morele en esthetische argumenten. Al deze argumenten maken gezamenlijk het bestaan van God heel erg waarschijnlijk. Kortom, we hebben in onze tijd een buitengewoon sterke cumulatieve casus voor het bestaan van God.

Dr. ir. Emanuel Rutten is als onderzoeker verbonden aan het Abraham Kuyper Centrum voor Wetenschap en Religie van de Vrije Universiteit in Amsterdam.

On Gödel’s alleged proof of God’s existence

A recent article in Patheos talks about two computer scientists who claim to have applied state-of-the-art software to show that Kurt Gödel’s "mathematical proof" for the existence of God is entirely correct. Now, in 2013 the computer scientists C. Benzmüller from the Free University of Berlin and B. W. Paleo from the TU Wien indeed demonstrated through the application of specialized software that Gödel's conclusion that God exists logically follows from his assumptions or premises. What both scientists have thus shown is that Gödel's conclusion is true if we take it that his premises are true.

Does this mean that we now have a successful proof of the existence of God? No, clearly not. The computer scientists have only shown that Gödel’s derivation of his conclusion from his premises is valid. Gödel's conclusion can be properly deduced from his premises. Gödel's deduction is logically valid. But this should of course hardly surprise us. After all, Kurt Gödel is not just by coincidence seen as one of the greatest logicians since Aristotle.

So, whoever accepts Gödel’s premises has indeed no choice but to accept the conclusion that God exists. But should we accept Gödel’s premises? That’s the real question. How sure can we be of the truth of these premises? Benzmüller and Paleo remain totally silent about this. Of course they do. Gödel’s premises are not of a logical or a mathematical nature. They thus cannot be established or verified by a computer. Gödel’s premises are so called philosophical or more precisely metaphysical premises, that is to say, premises about the fundamental nature of reality. One premise holds that there are “positive” properties and his other premises state specific ways in which these properties are mutually related. A computer cannot tell us anything about whether these premises are true.

This would not be a problem provided that Gödel's premises are sufficiently self-evident. For in that case, we would have no choice but to accept them. Hence in that case we would have indeed a proof of God’s existence. The problem though is that Gödel's premises are anything but self-evident. There is in fact a lively debate amongst metaphysicians of whether they can be justified. It is for example not fully clear how the “positive” properties these premises refer to are to be understood. At most these premises can be said to be plausible. But then the most we can say is that the conclusion entailed by these premises is plausible. Or even more modest: the premises merely increase the plausibility of the existence of God. And this comes obviously not even close to a proof of God’s existence.

That Gödel’s argument does not count as a proof of God’s existence is hardly surprising. For the existence of God simply cannot be proven. The best we can do is to provide reasonable arguments for the existence of God. Such arguments show that it is reasonable to think that God exists. They make God's existence plausibly true. In fact, these arguments taken together show that theism is the most reasonable worldview. But absolute and infallible certainty? A proof of God’s existence? No, that is something these arguments cannot provide. This is a good thing. Reasonable arguments for God’s existence give us reasons to believe, but they remain reasons to believe. They don’t amount to a proof, but they make believe in God entirely reasonable. Or as St. Anselm of Canterbury has so aptly expressed it: fides quaerens intellectum. Faith in search of understanding.

Gödel's argument for God’s existence falls within the category of ontological arguments. Ontological arguments depart from pure thought and make no reference to sensory experiences. Their start from a specific definition of God, such as Anselm’s definition that God is "that, than which nothing greater can be conceived”, or that God is a “maximally perfect being." From such a definition the existence of God is step by step deduced through strict logical reasoning by making use of certain premises.

The first ontological argument in history is from Anselm. His argument is only convincing in a strict neo-Platonic context. Gödel's argument requires no neo-Platonism. It is thus a quite different type of ontological argument from Anselm’s. In recent years, Gödel's argument has been significantly improved by Alexander Pruss. He has proposed alternative premises that are more plausible.

As discussed, Gödel's argument is based on metaphysical assumptions about the general nature of reality. Gödel subsequently applies modal logic (i.e., the logic of the possible and the necessary) to deduce the conclusion that God exists. Therefore, the argument is not a mathematical derivation. Of course not. No collection of mathematical theorems entails the conclusion that God exists. At best, it can be argued that we need a reasonable explanation for why the cosmos is so perfectly described though mathematics, and that the best explanation is that the cosmos was created by a rational, all-powerful creator who wanted us to rationally understand it. But this again is no proof of God.

In addition to ontological arguments, there are other types of arguments for the existence of God that make use of modal logic, such as the modal-epistemic argument for God’s existence explained here. Together, these arguments make God’s existence likely, especially if we add to this set the various cosmological, teleological, moral and aesthetic arguments for the existence of God. Nowadays we do actually have a strong cumulative rational case for God’s existence. But infallible certainty? A proof of God’s existence? No, obviously not. We provide proofs in mathematics and in logic, not in philosophy.

Finally, which God is being referred to by Gödel’s argument? Is it the God of Christianity or the God of another monotheistic tradition? More precisely formulated, the conclusion of Gödel's argument has it that there exists a being that possesses all “positive” properties. This amounts to the existence of a necessarily existing and perfect being that is the ground and origin of reality as a whole. Now, if such a being exists, it can surely be called God. But it requires further work to argue that this God is in fact the God of Christianity. Gödel’s argument does nothing to show that the God inferred is actually the God that Christianity has testified for during centuries. It’s an argument for theism, not Christianity.

Dr. Emanuel Rutten (1973) is a philosopher. He is a researcher and lecturer at the Faculty of Humanities at VU Amsterdam (both at the Abraham Kuyper Centre for Science and the Big Questions and the Ethos Centre for Social Transformation). Emanuel’s field of research and teaching includes the relationship between faith and science, the evaluation of the rationality of secular and religious worldviews, epistemology and speculative realism, logic and rhetoric, and aesthetics.

De kleine Logicomix

In 2009 verscheen de Nederlandse vertaling van de prachtige beeldroman Logicomix van Apostolos Doxiadis en Christos Papadimitriou. De auteurs zijn erin geslaagd om op zeer aansprekende wijze het boeiende verhaal te vertellen van de laat negentiende en vroeg twintigste eeuwse zoektocht naar de fundamenten van de wiskunde. Deze epische en welhaast spirituele zoektocht naar absolute zekerheid en waarheid wordt verteld door de ogen van Bertrand Russell. Russell was zelf één van de belangrijkste denkers die zich met deze zoektocht heeft beziggehouden. Andere belangrijke personages in dit verhaal zijn Gottlob Frege, Ludwig Wittgenstein, Alfred Whitehead, David Hilbert en Kurt Gödel. Zij bouwden allen voort op werk van voorgangers. Vooral Aristoteles, Leibniz en George Boole zijn voor de zoektocht van groot belang geweest. Alle grote denkbeelden in wat later “de analytische filosofie” zou gaan heten zijn tijdens of als gevolg van de zoektocht van Frege, Russell, Wittgenstein en anderen ontstaan. In een nieuwe bijdrage op mijn website geef ik op hoofdlijnen de belangrijkste momenten van deze fascinerende zoektocht naar absolute zekerheid weer.