Victor Gijsbers, Wittgenstein en het vermoeden van Goldbach

Met plezier las ik de bij Boom uitgegeven filosofische gids van Victor Gijsbers over oneindigheid, die helder is getiteld Oneindigheid. Een filosofische gids en onlangs de short list van de Socratesbeker van dit jaar heeft gehaald. In hoofdstuk zes bespreekt Gijsbers onder andere het beroemde vermoeden van Goldbach: elk even getal groter dan twee kan geschreven worden als de som van twee priemgetallen. Tot dusver is dit vermoeden niet bewezen en ook niet weerlegd. Stel nu eens dat er geen bewijs voor het vermoeden in een eindig aantal stappen geconstrueerd kan worden. En stel eveneens dat een tegenvoorbeeld evenmin in een eindig aantal stappen construeerbaar is. Gijsbers merkt op dat in dit specifieke geval Wittgenstein meent dat het vermoeden van Goldbach niet waar en niet onwaar is. Gijsbers licht toe: "Als we net zoals Wittgenstein weigeren om getallen te zien als dingen die al bij voorbaat op ons liggen te wachten, hoeven we ook niet meer te denken dat er waarheden over deze getallen bestaan onafhankelijk van wat wij kunnen bewijzen (p.185)."

Gijsbers beweert dus dat wie in het desbetreffende geval denkt dat het vermoeden van Goldbach waar of onwaar is, de even getallen ziet als dingen die op ons liggen te wachten. Men zou zich de even getallen voorstellen als een van ons onafhankelijk bestaande rij die klaarligt om bekeken te worden. Preciezer gezegd zou men uitgaan van een afgeronde of actuele oneindigheid van even getallen. Dit uitgangspunt verwerpt Wittgenstein inderdaad. Gijsbert schrijft dan ook terecht: "Deze gedachte is tegen het zere been van Wittgenstein. Het is volgens hem volkomen verkeerd om de getallen te zien als dingen die bestaan onafhankelijk van onze wiskundige activiteiten. De getallen liggen niet te wachten, in al hun oneindigheid, tot wij een keer langskomen (p. 185)."

We hoeven in het onderhavige geval echter helemaal niet uit te gaan van een afgeronde of actuele oneindigheid van even getallen om te beweren dat het vermoeden waar of onwaar is. Beschouw maar eens iemand die begint bij het eerste even getal, namelijk vier, dat hij of zij vervolgens met eindig veel regels in een eindig aantal stappen controleert, vervolgens in eindig veel stappen volgens een vaste eindige regel het volgende even getal genereert, dat opnieuw met dezelfde eindige regels in een eindig aantal stappen controleert, daarna met dezelfde vaste eindige regel het volgende even getal genereert, en zo doorgaat. Hij of zij stopt pas zodra bij een controle blijkt dat het desbetreffende even getal niet aan het vermoeden van Goldbach voldoet. Deze procedure blijft steeds netjes eindig. Het is niet zo dat er op een bepaald moment ineens een actueel oneindig aantal even getallen langsgelopen en gecontroleerd zijn.

En precies omdat een tegenvoorbeeld in het onderhavige geval niet geconstrueerd kan worden, gaat deze regelgeleide procedure niet stoppen. Want stoppen zou een constructie van een tegenvoorbeeld zijn. Het niet stoppen rechtvaardigt de uitspraak dat het vermoeden van Goldbach in het onderhavige geval waar is. Wat anders zou het immers in dit geval kunnen betekenen om te zeggen dat een even getal groter dan twee als de som van twee priemgetallen geschreven kan worden? Er is geen stap in de procedure waarop gestopt wordt en juist dat lijkt mij redelijkerwijs voldoende om te zeggen dat het vermoeden in dit geval klopt.

Wie deze conclusie te ver vindt gaan, kan volhouden dat er hoe dan ook twee mogelijkheden zijn. De regelgeleide procedure stopt na eindig veel stappen of niet. Als de procedure stopt kan redelijkerwijs gezegd worden dat het vermoeden onwaar is en als de procedure niet stopt kan redelijkerwijs beweerd worden dat het vermoeden waar is. Meer is niet nodig. Er is geen beroep nodig op een afgeronde of actuele oneindigheid van even getallen. De even getallen hoeven niet gezien te worden als dingen die op ons liggen te wachten en klaarliggen om bekeken te worden.

Kortom, een op eindige regels gebaseerde en daarmee eindige procedurele benadering volstaat om in het onderhavige geval te kunnen spreken over waar of onwaar. In tegenstelling tot wat Gijsbers vanuit Wittgenstein betoogt, is dus geen beroep nodig op een afgeronde of actuele oneindigheid. Ook wanneer een bewijs of tegenvoorbeeld voor het vermoeden van Goldbach niet in een eindig aantal stappen geconstrueerd kan worden, kunnen wij, zonder een actueel oneindig aantal getallen te veronderstellen, nog altijd spreken over het waar of onwaar zijn van Goldbach's vermoeden.