Een afleiding van de wet van de niet-tegenspraak

De logische wet van de niet-tegenspraak stelt dat iets niet op hetzelfde moment een bepaalde eigenschap wel en niet kan bezitten. Men denkt vaak dat deze wet zó fundamenteel is, dat ze op geen enkele wijze uit meer fundamentelere logische principes kan worden afgeleid. Dit is echter niet het geval, zoals George Boole in zijn An Investigation of the Laws of Thought uit 1854 heeft laten zien. Neem een willekeurige eigenschap en laat A de klasse van alle dingen zijn die deze eigenschap hebben. Schrijf XY voor de klasse die ontstaat wanneer wij uit alle dingen die eigenschap Y hebben alleen die dingen nemen die ook eigenschap X hebben. Laat 0 de klasse zijn die geen dingen bevat en laat 1 de klasse zijn die alle dingen bevat. Laat verder X - Y de klasse zijn die verkregen wordt door uit klasse X alle dingen uit klasse Y weg te halen. Nu geldt A = AA. Hieruit volgt A - A = A - AA oftewel 0 = A - AA. Dit kunnen we schrijven als 0 = A1 - AA. Nu geldt eveneens XY - XZ = X(Y-Z) voor alle klassen X, Y en Z waarbij Z een deel is van Y. Maar dan volgt 0 = A(1-A). Dit wil zeggen dat wij niets overhouden wanneer wij uit de klasse van dingen die eigenschap A niet hebben die dingen weghalen die eigenschap A wel hebben. Maar dat is precies wat de wet van de niet-tegenspraak stelt. Deze logische wet volgt dus inderdaad uit logische principes die nog fundamenteler zijn dan deze wet zelf.