Het schandaal van de klassieke propositielogica

De klassieke propositielogica heeft een eerbiedwaardige geschiedenis die teruggaat tot de Griekse oudheid. Volgens sommigen heeft Aristoteles of in elk geval zijn opvolger Theophrastus aan het Lyceum de eerste stappen gezet om te komen tot een propositielogica. Zo noemt Aristoteles in zijn Metafysica Gamma twee fundamentele wetten van wat nu bekend staat als de klassieke propositielogica, namelijk de wet van de uitgesloten derde en de wet van de niet-tegenspraak. De latere school van de Stoa wordt echter als de grondlegger van de klassieke propositielogica gezien. Zo besprak de Stoïcijn Diodorus Cronus met zijn leerling Philo propositioneel logische kwesties, en ontwikkelde Chrysippus het eerste systeem van de propositielogica. In de vroege en late middeleeuwen hielden vervolgens onder andere Galen, Boëthius, Abelard en Ockham zich met propositielogica bezig. Een verdere formalisering ervan vindt plaats in de negentiende eeuw door denkers als DeMorgan en vooral George Boole. Deze ontwikkelingen culmineren aan het eind van die eeuw in Frege’s Begriffsschrift waarin we de eerste volledige formele axiomatisering aantreffen van de klassieke propositielogica. In het begin van de twintigste eeuw worden dan nog enkele alternatieve axiomatiseringen ervan ontwikkeld door Russell en Whitehead. Het was vervolgens Gentzen die in de jaren dertig van de vorige eeuw het systeem van natuurlijke deductie voor de klassieke propositielogica ontwikkelde, wat in feite wederom een alternatieve formalisering van de klassieke propositielogica betreft.

Al met al kunnen we zeggen dat de klassieke propositielogica inderdaad een respectabele traditie kent. Natuurlijk is er ook kritiek op deze logica. De meest bekende kritiek is die van Brouwer aan het begin van de twintigste eeuw. Hij verwerpt één van de peilers van de klassieke propositielogica, namelijk de wet van de uitgesloten derde. Volgens Brouwer dienen we namelijk niet te accepteren dat voor iedere propositie P geldt dat 'P of niet-P'. Volgens hem zijn er namelijk ook proposities P waarvoor noch P noch niet-P het geval is. Wie bijvoorbeeld 'P' opvat als 'P is bewijsbaar' en 'niet-P' als 'Het is bewijsbaar dat P niet bewijsbaar is', heeft geen reden meer om te denken dat voor alle proposities P geldt dat 'P of niet-P'.

Brouwer en zijn aanhangers ontwierpen daarom een propositielogica waarin de wet van de uitgesloten derde niet langer geldig is. Deze logica wordt de intuïtionistische logica genoemd. De intuïtionistische logica wordt verkregen uit de klassieke propositielogica door een aantal logische principes te schrappen. We verkrijgen zo dus een beperktere logica waarin we minder kunnen afleiden dan met de klassieke propositielogica. Naast de wet van de uitgesloten derde mag in de intuïtionistische logica bijvoorbeeld ook niet langer gebruik worden gemaakt van de regel van het elimineren van dubbele ontkenningen. Er mag anders gezegd uit niet-niet-P niet langer P afgeleid worden. Nu zijn de wet van de uitgesloten derde en de regel van de eliminatie van dubbele ontkenningen voor ons buitengewoon vanzelfsprekende logische principes. We maken er in ons taalgebruik en in ons dagelijks leven, en ook in de wetenschap voortdurend gebruik van. We zouden zelfs kunnen zeggen dat beide logische principes voor ons volstrekt zelfevident zijn. Wie zou immers willen ontkennen dat voor iedere propositie P ofwel P ofwel niet-P het geval is? Het regent of het regent niet. Het getal 4 is even of niet. Andere mogelijkheden lijken er eenvoudigweg niet te zijn. En wie zou willen zeggen dat het niet zo is dat uit niet-niet-P de propositie P volgt? Als ik niet niet in Amsterdam ben, dan ben ik in Amsterdam. Als ik niet-niet vanavond naar de film ga, dan ga ik vanavond naar de film. Punt uit. Iets anders lijkt eenvoudigweg onmogelijk te zijn. Het zal dan ook nauwelijks verbazing wekken dat de intuïtionistische logica van Brouwer en zijn aanhangers nauwelijks volgelingen heeft gekregen. Daarvoor sluit de klassieke propositielogica eenvoudigweg te goed aan bij onze diepste intuïties over wanneer iets wel of niet logisch geldig is. Er moet dan ook wel een hele goede reden zijn om over te stappen naar de veel beperktere intuïtionistische logica. Zo gemakkelijk geven we de wet van de uitgesloten derde of de regel van het elimineren van dubbele ontkenningen niet op! En volgens velen is zo'n hele goede reden eenvoudigweg niet voorhanden.

Maar is dat wel zo? In de klassieke propositielogica blijkt de volgende redenering logisch geldig te zijn: "Als R uit ‘P én Q’ volgt, dan volgt R uit P of dan volgt R uit Q". Of formeel nog compacter weergeven: Uit "(P en Q) --> R" volgt "(P-->R) of (Q-->R)". Welnu, hoewel deze redenering in de klassieke propositielogica netjes bewezen kan worden, is ze toch evident ongeldig! Neem het volgende concrete voorbeeld: "Als we met geel en blauw samen groen kunnen maken, dan kunnen we met geel groen maken, of dan kunnen we met blauw groen maken". Een dergelijke redering is inderdaad onzinnig. En toch is zij zoals gezegd logisch geldig in de klassieke propositielogica! Dit is dermate onwenselijk dat we zelfs over het schandaal van de klassieke propositielogica kunnen spreken. Genoemde evident onzinnige gevolgtrekking zou immers nimmer logisch geldig mogen zijn. Wat nu?

Een mogelijkheid is om alsnog te kiezen voor Brouwers intuïtionistische logica. In deze logica kan genoemde absurde
gevolgtrekking namelijk niet bewezen worden. Ze is er netjes ongeldig, zodat we van het probleem af zijn. De prijs die we betalen lijkt echter hoog. We dienen namelijk o.a. de uiterst vanzelfsprekende wet van de uitgesloten derde op te geven. Wie toch wil vasthouden aan deze wet en de eerder genoemde absurde gevolgtrekking niet als logisch geldig wil accepteren, heeft dan ook eigenlijk geen andere keus dan de propositielogica in zijn geheel te verwerpen. Omdat de predikatenlogica de propositielogica omvat, zou dit neerkomen op een verwerping van de hele propositie- en predikatenlogica. We vallen dan in feite weer terug op de Aristotelische syllogismenleer, waarin genoemde absurde gevolgtrekking niet en de wet van de uitgesloten derde wel logisch geldig is.

Maar is het wel zo’n probleem om de klassieke propositielogica en daarmee o.a. de wet van de uitgesloten derde op te geven door te kiezen voor Brouwers intuïtionistische logica? Dit is wellicht niet het geval. De ontegenzeggelijke vanzelfsprekendheid van de wet van de uitgesloten derde wordt namelijk in feite gemotiveerd door een achterliggende metafysische stellingname, namelijk die van het metafysisch realisme. Volgens het realisme is er een van ons denken onafhankelijke werkelijkheid en hebben onze proposities steeds betrekking op deze onafhankelijke werkelijkheid. Een ware propositie is dan een propositie die adequaat met deze onafhankelijke werkelijkheid correspondeert, terwijl een onware propositie dat niet doet. Uitgaande van het metafysisch realisme is de wet van de uitgesloten derde inderdaad redelijkerwijs onontkoombaar. De van ons denken onafhankelijke werkelijkheid is immers op een bepaalde wijze, en iedere propositie correspondeert er dus onvermijdelijk wél of niet adequaat mee. De klassieke propositielogica is dan ook zeer nauw verbonden met het metafysisch realisme.

Het realisme is echter niet de enige mogelijke metafysische positie. Naast het metafysisch realisme kan ook het metafysisch idealisme verdedigd worden. Volgens het idealisme is de werkelijkheid waar onze proposities naar verwijzen geen onafhankelijk van ons denken bestaande werkelijkheid. De werkelijkheid waar onze proposities over gaan betreft een door het menselijke denken geconstrueerde werkelijkheid. Wij hebben als mensen alléén toegang tot deze door ons geconstitueerde werkelijkheid. Wie uitgaat van een dergelijk metafysisch idealisme (en dus realisme afwijst) kan zonder al teveel problemen de wet van de uitgesloten derde wel degelijk verwerpen. Indien de werkelijkheid waarover onze proposities gaan namelijk een door onszelf geconstrueerde werkelijkheid betreft, dan is er geen reden meer om te denken dat voor iedere propositie P geldt dat P of niet-P het geval is. Want waarom zou voor alle proposities P gelden dat wij ofwel P ofwel niet-P construeren? Voor veel proposities P zal het juist zo zijn dat wij noch P noch niet-P construeren, zodat de wet van de uitgesloten derde inderdaad niet langer meer opgaat en dus verworpen kan worden.

Brouwers intuïtionistische logica past dan ook uitstekend bij het metafysisch idealisme. Wie kiest voor idealisme verkrijgt dus wel degelijk een hele goede reden om de intuïtionistische logica te accepteren en dus de klassieke propositielogica te verwerpen. En dit is niet onbelangrijk. Door te kiezen voor het metafysisch idealisme wordt immers eerder genoemd schandaal vermeden. We hoeven niet langer uit te gaan van een propositielogica waarin duidelijk absurde gevolgtrekkingen toch logisch bewijsbaar blijken. Bovendien is het dan onnodig om de propositie- en predikatenlogica in z'n geheel te verwerpen. Een volledige terugval op de syllogistiek van Aristoteles wordt zo dus eveneens vermeden.