Victor Gijsbers, Wittgenstein en het vermoeden van Goldbach

Met plezier las ik het recente boek van Victor Gijsbers over oneindigheid, dat is getiteld Oneindigheid. Een filosofische gids en onlangs de short list van de Socratesbeker heeft gehaald. In hoofdstuk zes bespreekt Gijsbers onder andere het beroemde vermoeden van Goldbach: elk even getal groter dan twee kan geschreven worden als de som van twee priemgetallen. Tot dusver is dit vermoeden niet bewezen en ook niet weerlegd. Stel nu eens dat er geen bewijs voor het vermoeden in een eindig aantal stappen geconstrueerd kan worden. En stel eveneens dat een tegenvoorbeeld evenmin in een eindig aantal stappen construeerbaar is. Gijsbers merkt op dat in dit geval volgens Wittgenstein het vermoeden van Goldbach niet waar en niet onwaar is. Gijsbers licht toe: "Als we net zoals Wittgenstein weigeren om getallen te zien als dingen die al bij voorbaat op ons liggen te wachten, hoeven we ook niet meer te denken dat er waarheden over deze getallen bestaan onafhankelijk van wat wij kunnen bewijzen (p.185)."

Wie in het geval waarin bewijs en tegenvoorbeeld niet eindig construeerbaar zijn, toch denkt dat het vermoeden van Goldbach waar of onwaar is, kan dit volgens Gijsbers dus alléén denken omdat men getallen ziet als dingen die op ons liggen te wachten. Men zou zich de even getallen voorstellen als een van ons onafhankelijk bestaande rij die klaarligt om bekeken te worden. Preciezer gezegd zou men uitgaan van een afgeronde of actuele oneindigheid van even getallen. Dit uitgangspunt wijst Wittgenstein inderdaad af. Gijsbert schrijft dan ook terecht: "Deze gedachte is tegen het zere been van Wittgenstein. Het is volgens hem volkomen verkeerd om de getallen te zien als dingen die bestaan onafhankelijk van onze wiskundige activiteiten. De getallen liggen niet te wachten, in al hun oneindigheid, tot wij een keer langskomen (p. 185)."

We hoeven in het desbetreffende geval echter niet uit te gaan van een afgeronde of actuele oneindigheid van even getallen om te beweren dat het vermoeden waar of onwaar is. Beschouw maar eens iemand die begint bij het eerste even getal, namelijk vier, dat hij of zij in eindig veel stappen controleert, vervolgens met een eindige regel het volgende even getal genereert, dat eveneens op dezelfde wijze in eindig veel stappen controleert, daarna met dezelfde eindige regel het volgende even getal genereert, dat ook weer controleert en zo doorgaat. Hij of zij stopt pas zodra bij een controle blijkt dat het even getal niet aan het vermoeden van Goldbach voldoet. Deze procedure blijft steeds eindig. Het is niet zo dat er op een bepaald moment ineens een actueel oneindig aantal even getallen langsgelopen en gecontroleerd zijn.

En omdat we het hier hebben over het specifieke geval waarin een tegenvoorbeeld niet in een eindig aantal stappen geconstrueerd kan worden, kan met genoemde procedure in een eindig aantal stappen geen tegenvoorbeeld gevonden worden. In elke volgende stap van de procedure ontstaat géén tegenvoorbeeld omdat het ontstaan ervan een constructie van een tegenvoorbeeld in een eindig aantal stappen zou betreffen. Elke volgende controle slaagt, zodat in elke volgende stap de procedure niet stopt. Er is dus geen stap waarin de procedure stopt.

Dit niet stoppen rechtvaardigt de uitspraak dat het vermoeden van Goldbach in het onderhavige geval waar is. Er is geen stap in de procedure waarop gestopt wordt en juist dat lijkt mij redelijkerwijs voldoende om te zeggen dat het vermoeden in dit geval klopt. De even getallen hoeven niet gezien te worden als dingen die op ons liggen te wachten en klaarliggen om bekeken te worden.

Wie deze conclusie te ver vindt gaan, kan volhouden dat er hoe dan ook twee mogelijkheden zijn. De regelgeleide procedure stopt na eindig veel stappen of niet. Als de procedure stopt kan redelijkerwijs gezegd worden dat het vermoeden onwaar is en als er geen stap is waarop de procedure stopt kan redelijkerwijs beweerd worden dat het vermoeden waar is. Meer is niet nodig. Er is geen beroep nodig op een afgeronde of actuele oneindigheid van even getallen.

Kortom, een op eindige regels gebaseerde en daarmee eindige procedurele benadering volstaat om in het onderhavige geval te kunnen spreken over waar of onwaar. In tegenstelling tot wat Gijsbers vanuit Wittgenstein betoogt, is dus geen beroep nodig op een afgeronde of actuele oneindigheid. Ook wanneer een bewijs of tegenvoorbeeld voor het vermoeden van Goldbach niet in een eindig aantal stappen geconstrueerd kan worden, kunnen wij, zonder een actueel oneindig aantal getallen te veronderstellen, nog altijd spreken over het waar of onwaar zijn van Goldbach's vermoeden.

Een oneindige loterij (II)

In een eerdere bijdrage besprak ik een argument voor de bewering dat er geen oneindig veel concrete dingen buiten ons denken kan bestaan. Daarop ontving ik een objectie die dermate interessant is, dat zij een tweede bijdrage over dit argument rechtvaardigt. De objectie gaat als volgt. Stel dat je in het argument de tussenstap van oneindig veel concrete dingen in de wereld waaruit Jan en Mark een ding moeten kiezen weglaat en de deelnemers direct zelf een getal laat kiezen. In dat geval zijn er nog steeds oneindig veel meer getallen dan het getal dat beide deelnemers gekozen hebben. De paradox ontstaat dan dus nog steeds. Jan en Mark willen immers rationeel gezien ook nu weer wisselen. Maar dan zouden we in dit geval moeten concluderen dat er geen oneindig veel getallen zijn, wat natuurlijk onzinnig is. Er moet daarom iets mis zijn met het argument, aldus de objectie.

De verwijzing naar concrete dingen buiten ons denken kan echter niet uit het scenario weggelaten worden. Laat me uitleggen waarom. Essentieel voor het scenario is dat beide actoren iets kiezen uit een gegeven buiten hen bestaande verzameling dingen. Er moet dus een verzameling dingen in de wereld zijn en beide actoren moeten uit die werkelijk in de wereld bestaande verzameling een ding kunnen kiezen. Waarom is dit dan belangrijk? Welnu, als de actoren in plaats van een ding uit een buiten hen bestaande verzameling te kiezen, zelf een getal mogen opschrijven, dan zullen beide actoren (rationeel als ze zijn) eenvoudigweg gegeven de tijd die ze hebben het grootst mogelijke getal opschrijven. Als ik mij niet vergis is dat 9^9^9^...^9 (waarbij '^' staat voor 'tot de macht' en het aantal negens wordt bepaald door de snelheid waarmee de actoren kunnen schrijven en de tijdsduur die hen ter beschikking staat). Beide actoren zullen dan niet willen wisselen (aangenomen dat ze geen idee hebben wie van beiden het snelst schrijft). De paradox ontstaat hier dus niet, zodat de objectie faalt.

Wanneer er echter een oneindige verzameling concrete dingen buiten hen bestaat en men daaruit moet kiezen (dus wanneer er werkelijk een oneindig aantal dingen kan bestaan), dan werkt dit opschrijven van 9^9^9^..^9 niet. Men kan in dat geval namelijk ieder ding zó uit die verzameling pakken, hoe groot het getal van dat ding ook is. Het is voor hen dan dus zeer eenvoudig om dingen met getallen te kiezen die veel groter zijn dan wat ze zelf in de beperkte tijd die ze hebben kunnen opschrijven. De methode van het opschrijven van 9^9^9^...^9 werkt dan dus niet meer. En precies daarom ontstaat in het oorspronkelijke scenario wél de paradox die het scenario (en daarmee het bestaan van een oneindig aantal concrete dingen) onmogelijk maakt.

Een oneindige loterij

Het volgende argument voor de bewering dat er geen oneindig veel dingen kunnen bestaan, ontleen ik aan een lezing van Robert Koons, die zelf verwijst naar eerder werk van Alexander Pruss. Stel dat het metafysisch mogelijk is dat er oneindig veel dingen bestaan. Dan is het volgende scenario ook metafysisch mogelijk. Er zijn oneindig veel dingen die respectievelijk de nummers 1, 2, 3, ... hebben. Mark en Jan wordt gevraagd om elk een ding uit deze collectie te kiezen. Wie het ding met het grootste getal heeft gekozen, wint en krijgt 10.000 euro. Beschouw Mark. Hij redeneert als volgt. Er zijn oneindig veel getallen groter dan het getal dat ik zojuist heb gekozen. Daarentegen zijn er maar eindig veel getallen kleiner dan het door mij gekozen getal. Dit betekent dat Jan met aan zekerheid grenzende waarschijnlijkheid een groter getal heeft gekozen dan ik. De enige rationele beslissing voor mij is dus om aan Jan te vragen met hem te wisselen. Mark is ben zelfs bereid om hem daarvoor een bedrag te betalen, zeg 8000 euro. Maar Jan redeneert natuurlijk precies zo. Beide heren zijn dus bereid om elkaar 8000 euro te betalen om te wisselen. Dit kan redelijkerwijs nooit de uitkomst van een rationele kansberekening zijn. Het is incoherent dat het voor zowel Mark als Jan rationeel is om de ander 8000 euro aan te bieden om te wisselen. Het scenario in kwestie is dus onmogelijk. Het enige aspect dat hiervoor verantwoordelijk kan zijn, is het bestaan van oneindig veel dingen. Alle andere aspecten van het scenario zijn namelijk zeker mogelijk. Er kunnen dus geen oneindig veel dingen bestaan.

Heeft het universum een eeuwig verleden?

Is het voorstelbaar dat het universum géén begin in de tijd heeft? Zou het anders gezegd zo kunnen zijn dat het universum een oneindig verleden heeft? Neem John. John is inderdaad van mening dat het universum oneindig ver teruggaat in de tijd. We kunnen, aldus John, het universum begrijpen als een oneindige, naar het verleden toe onbegrensde, lineaire reeks van elkaar achtereenvolgens veroorzakende toestanden ('time slices'). De huidige toestand is veroorzaakt door de toestand direct daarvoor, en die toestand is veroorzaakt door de toestand weer direct daarvoor, welke op haar beurt is veroorzaakt door de toestand die daar direct aan voorafging, enzovoort, enzovoort, ad infinitum. Er is volgens John dus geen eerste toestand in de reeks. Iedere toestand wordt immers veroorzaakt door een toestand direct daarvoor. Dit scenario levert inderdaad een universum op zonder begin. De reeks van toestanden van het universum loopt immers oneindig ver terug in het verleden. Bovendien wordt het bestaan van iedere toestand van het universum netjes verklaart als zijnde veroorzaakt door de toestand van het universum direct daarvoor, zodat er verder helemaal niets te verklaren overblijft.

Is Johns voorstelling van zaken plausibel? Alexander Pruss heeft enige tijd geleden een interessant argument gegeven tegen een dergelijke voorstelling van zaken. Zijn argument zal ik in wat volgt kort presenteren.

Stel dat Johns voorstelling van zaken inderdaad plausibel is. In dat geval dienen we het volgende scenario ook als plausibel te accepteren. Mark en Paul zitten samen een gesprek over politiek te voeren in de huiskamer van Paul. Plotseling verschijnt er midden in de kamer ineens vanuit het niets een fiets! Mark schrikt enorm en vraagt zich af hoe het in vredesnaam mogelijk is dat er zo maar ineens zonder enige aanwijsbare reden een fiets middenin de huiskamer van Paul verschijnt. Paul lijkt echter onaangedaan en merkt droogjes op dat hiervoor een volstrekt logische en afdoende verklaring gegeven kan worden. Paul gaat er eens rustig voor zitten en geeft de volgende verklaring. Laten we aannemen dat tijdstip t=0 het allerlaatste moment was waarop er nog geen fiets in de kamer aanwezig was. Welnu, de toestand van de fiets op dit moment, zeg tijdstip t=1, kan eenvoudig worden begrepen als zijnde veroorzaakt door de toestand van de fiets op tijdstip t=1/2. En de toestand van de fiets op tijdstip t=1/2 kan eenvoudig worden begrepen als zijnde veroorzaakt door de toestand van de fiets op tijdstip t=1/4. De toestand van de fiets op tijdstip t=1/4 is dan natuurlijk veroorzaakt door de toestand van de fiets op tijdstip t=1/8, welke op haar beurt weer is veroorzaakt door de toestand van de fiets op t=1/16, enzovoort, enzovoort, ad infinitum. Iedere toestand van de fiets wordt dus netjes verklaart door de daaraan voorafgaande toestand van de fiets, zodat alle toestanden uiteindelijk keurig verklaard zijn en er helemaal niets te verklaren overblijft. Kortom, wat Paul betreft kunnen hij en Mark de plotselinge verschijning van de fiets laten voor wat het is en weer gewoon verdergaan met hun gesprek over politiek.

Het mag duidelijk zijn dat dit tweede door Paul onder woorden gebrachte scenario absurd is. Niemand zal redelijkerwijs genoegen willen nemen met Pauls verklaring van het plotseling verschijnen van een fiets in de kamer vanuit het niets. Echter, en dit is waar het om gaat, Pauls scenario komt structureel overeen met Johns scenario voor een universum zonder begin. In beide gevallen is er immers sprake van een naar beneden onbegrensde oneindige lineaire reeks van elkaar achtereenvolgens veroorzakende toestanden. Uit het feit dat Pauls scenario absurd is volgt dus dat Johns scenario ook verworpen moet worden. Wij kunnen dus Johns verklaring van een universum zonder begin helemaal niet accepteren. Wie wil vasthouden aan een universum met een eeuwig verleden zal daarom met een andere voorstelling van zaken moeten komen.

Kant over het mathematisch verhevene

In §25 t/m §27 van zijn Kritiek van het oordeelsvermogen, dat in 1790 werd gepubliceerd, zet Kant zijn conceptie van het mathematisch verhevene uiteen. In de ervaring van het mathematisch verhevene, ook wel het mathematisch sublieme genoemd, laat volgens Kant ons voorstellings-vermogen het afweten omdat zij niet in staat is een gegeven omvangrijk object als één afgeronde aanschouwing in zich op te nemen. Alléén door tussenkomst van de rede-ideeën van absolute totaliteit en oneindigheid verkrijgen wij alsnog grip op het vormloze in de aanschouwing gegevene.

Zo schrijft Kant: "De natuur is dus verheven in de verschijningen waarvan de aanschouwing de idee van haar oneindigheid met zich meebrengt. En dat laatste kan nu uitsluitend gebeuren in het geval van de inadequaatheid van zelfs de grootste inspanning van onze verbeeldingskracht bij de schatting van de grootte van een object" (AA255/B93).

Op donderdag 24 juni zal in het Academisch-cultureel centrum SPUI25 een symposium plaatsvinden waarbij een groot aantal sprekers hun visie zullen geven op Kant's Kritiek van het oordeelsvermogen. Ik zal als één van de sprekers ingaan op de meest kenmerkende karakteristieken van Kant's mathematisch verhevene. Zie www.spui25.nl voor meer informatie.